Agence fédérale pour l'éducation

___________________________________

Saint-Pétersbourg State

Université électrotechnique "Leti"

_______________________________________

Théorie des fonctions d'une variable complexe

Instructions méthodiques

à une formation pratique

selon les plus hautes mathématiques

Saint-Pétersbourg

Publier SPBGETU "LETI"

UDC 512.64 (07)

TFKP: instructions méthodiques pour la résolution de problèmes / coût: v.g.dymumin, a.m.kotochikov, n.n.sosnovsky.pb.: Publishing House Spbgeti "Leti", 2010. 32c.

Approuvé

conseil éditorial de l'université

comme des conseils

© SPBGEU "LETI", 2010

Les fonctions d'une variable complexe,, en général, diffèrent des mappages du plan réel
dans l'enregistrement semicode. Un objet important et extrêmement utile est la classe de fonction de variable complexe,

avoir le dérivé de la même manière que les fonctions d'une variable. On sait que les fonctions de plusieurs variables peuvent avoir des dérivés et des dérivés privés dans la direction, mais, en règle générale, les dérivés ne coïncident pas dans des directions différentes, et il n'est pas possible de parler du dérivé au point. Toutefois, pour les fonctions d'une variable complexe, il est possible de décrire les conditions dans lesquelles ils admettent la différenciation. L'étude des propriétés des fonctions différentielles d'une variable complexe est la teneur en instructions méthodiques. Les indications sont axées sur la démonstration de la manière dont les propriétés de telles fonctions peuvent être utilisées pour résoudre diverses tâches. Le développement réussi, le matériel décrit est impossible sans compétences de calcul élémentaire avec des nombres complexes et des connaissances avec les objets géométriques les plus simples déterminés en termes d'inégalités qui se lient à la partie réelle et imaginaire du nombre intégré, ainsi que son module et son argument. Un résumé de toutes les informations nécessaires à cela peut être trouvé dans les lignes directrices.

Appareil standard d'analyse mathématique: limites, dérivés, intégrales, lignes sont largement utilisées dans le texte des directives. Lorsque ces concepts ont leurs propres détails, par rapport aux fonctions d'une variable, les explications correspondantes sont données, mais dans la plupart des cas, il suffit de séparer la partie réelle et imaginaire et d'appliquer l'appareil de l'appareil standard.

1. Fonctions variables complètes élémentaires

La discussion sur les conditions de différentiabilité des fonctions de variable complexe, commencez naturellement à découvrir quelles fonctions élémentaires ont cette propriété. De la relation évidente

La différentialité de tout polynôme suit. Et, puisque, la ligne de puissance peut être différenciée renouvelable dans le cercle de sa convergence,

que toute fonction est différente aux points, à proximité de laquelle il peut être décomposé dans une série de Taylor. C'est une condition suffisante, mais combien de temps il est nécessaire de se révéler, c'est aussi nécessaire. L'étude des fonctions d'une variable pour un dérivé est pratique à maintenir, contrôlant le comportement des graphiques de fonction. Pour les fonctions d'une variable complète, il n'existe aucune possibilité. Les points de l'horaire sont dans l'espace de dimension 4 ,.

Cependant, une certaine représentation graphique de la fonction peut être obtenue, compte tenu des images d'ensembles suffisamment simples d'un plan complexe
découlant sous l'influence d'une fonction donnée. Par exemple, envisagez, à partir de ce point de vue, certaines fonctionnalités simples.

Fonction linéaire

Cette fonctionnalité simple est très importante, tech comme toute fonction différentiable de manière locale similaire à linéaire. Considérez l'action de la fonction avec le détail maximum.

ici
- Module de numéro intégré et - Son argument. Ainsi, la fonction linéaire exerce l'étirement, le tournant et le décalage. Par conséquent, l'affichage linéaire traduit n'importe quel ensemble sur un ensemble similaire. En particulier, sous l'influence de l'affichage linéaire, les lignes droites se déplacent directement et la circonférence du cercle.

Une fonction

Cette fonctionnalité est la complexité suivante pour le linéaire. Il est difficile de s'attendre à ce qu'il traduise de manière directe directe et de cercle dans un cercle, des exemples simples montrent que cela ne se produit toutefois pas, il peut être démontré que cette fonction traduit l'ensemble de tous directs et de tous les cercles en soi. Pour vous assurer qu'il est pratique de passer à la description de l'affichage réelle (coordonnée)

Pour prouver, vous avez besoin d'une description de l'écran inversé.

Considérer l'équation si
, alors l'équation générale est directe. Si un
T.

Par conséquent, comme
l'équation d'un cercle arbitraire est obtenue.

Notez que si
et
, la circonférence passe à travers l'origine des coordonnées. Si
et
Cela va tourner directement, passant à l'origine des coordonnées.

Sous l'action de l'inversion, l'équation considérée va réécrire sous la forme de

, (
)

ou alors . On peut voir que c'est aussi une équation décrivant le cercle ou le droit. Quoi dans les coefficients d'équation et
nous avons changé par endroits, cela signifie qu'avec l'inversion, le droit, en passant à travers 0, entrez dans le cercle et les cercles qui passent à travers 0 se déplacent directement.

Fonctions de puissance

La principale différence entre ces caractéristiques de la discussion précédemment décrite est qu'elles ne sont pas mutuellement sans ambiguïtés (
). Peut être dit que la fonction
transfère le plan complexe en deux copies du même plan. L'attention particulière de ce sujet nécessite l'utilisation d'un appareil encombrant de surfaces de Riemann et va au-delà de la portée des questions à l'étude. Il est important de comprendre que l'avion complexe peut être divisé en secteurs, chacun d'eux qui est définitivement affiché sur le plan complexe. Ceci est une partition pour une fonction.
on dirait, par exemple, le demi-plan supérieur est définitivement affiché sur la fonction plan complexe
. La distorsion de la géométrie pour de telles images est plus compliquée que dans le cas d'inversion. En tant qu'exercice, vous pouvez tracer, quelles sont les coordonnées de coordonnées rectangulaires du demi-avion supérieur lors de l'affichage

On peut constater que la grille de coordonnées rectangulaires va dans la famille Parabol formant le système de coordonnées curviligne dans l'avion.
. La séparation du plan décrit ci-dessus est telle que la fonction
affiche chacun des secteurs pour l'ensemble de l'avion. La description de l'affichage direct et inversé ressemble à

Ainsi, la fonction
il a fonctions d'alimentation différentes

spécifié dans différents secteurs de l'avion

Dans de tels cas, on dit que le mappage est de manière multicalltique.

Fonction Zhukovsky

La fonction a son propre nom, car il s'agissait de la base de la théorie de l'aile de l'aéronef créé par Zhukovsky (la description de cette conception peut être trouvée dans le livre). La fonction présente un certain nombre de propriétés intéressantes, nous nous concentrerons sur l'un d'entre eux - découvrez ce qui définit cette fonction active mutuellement valide. Considérer l'égalité

De!
.

Par conséquent, la fonction de Zhukovsky est mutuellement mesurée dans n'importe quelle zone dans laquelle pour tout et leur travail n'est pas égal à un. Ce sont, par exemple, un cercle unique ouvert
et ajout d'un cercle unique fermé
.

Considérez l'action de la fonction de Zhukovsky sur le cercle, puis

Séparant les parties réelles et imaginaires, nous obtenons l'équation paramétrique de l'ellipse

,
.

Si un
, ces ellipses remplissent tout l'avion. De même, il est vérifié que les hyperboles sont coupés dans des images.

.

Fonction exponentielle

La fonction permet une décomposition dans une rangée d'énergie, convertissant absolument dans tout le plan complexe, il est donc partout différenable. Nous décrivons les ensembles sur lesquels la fonction est mutuellement valide. Égalité évidente
indique que l'avion peut être divisé en famille des bandes, chacune de laquelle la fonction l'affiche mutuellement à tout le plan complexe. Cette partition est essentielle pour comprendre comment la fonction inverse est agencée, ou plutôt des fonctions inverse. Chacune des bandes a naturellement défini l'affichage inversé

La fonction inverse et dans ce cas sont des multithères, avec le nombre de fonctions inverse infiniment.

L'affichage géométrique Description est assez simple: tout droit
transfert dans les rayons
Segments

aller au cercle
.

Fonctions d'une variable complexe.
Différenciation des fonctions d'une variable complexe.

Cet article ouvre une série de leçons dans lesquelles je vais envisager des tâches typiques associées à la théorie des fonctions d'une variable complexe. Pour le développement réussi d'exemples, vous devez avoir une connaissance de base des nombres complexes. Afin de sécuriser et de répéter, il suffit de visiter la page. Aussi besoin de trouver des compétences dérivés privés de second ordre. Voici ce que c'est quoi, ces dérivés privés ... même qu'il est lui-même un peu surpris de la fréquence de ...

Le sujet que nous commençons à démonter ne représente pas de difficultés particulières et dans les fonctions d'une variable complexe, en principe, tout est compréhensible et accessible. La principale chose est d'adhérer à la règle principale qui est dérivée de la manière expérimentée. Continuer à lire!

Le concept d'une fonction variable complexe

Premièrement, rafraîchissez les connaissances sur la fonction scolaire d'une variable:

La fonction d'une variable - Ceci est la règle pour laquelle chaque valeur d'une variable indépendante (à partir de la zone de définition) correspond à une seule et unique valeur de fonction. Naturellement, "x" et "igrek" - numéros valides.

Dans le cas complexe dépendance fonctionnelle Vaut la peine:

Fonction sans ambiguïté d'une variable complexe - c'est une règle pour laquelle tout le monde complet La valeur d'une variable indépendante (à partir de la zone de définition) correspond à une seule et unique completla valeur de la fonction. La théorie aborde également plusieurs types de fonctions multiples et d'autres types, mais pour la simplicité, je m'arrêterai sur une définition.

Quelle est la différence entre la variable complexe?

La principale différence: les chiffres sont complexes. Je ne repasse pas. De tels problèmes, tombent souvent dans une stupeur, à la fin de l'article, je raconterai l'histoire d'une histoire cool. À la leçon Numéros complexes pour les théières Nous avons considéré un nombre complexe sous la forme. Depuis maintenant la lettre "zet" est devenue variable, alors nous serons notés comme suit :,, en même temps, "x" et "igrek" peut prendre divers valide valeurs. À peu près parlant, la fonction d'une variable complexe dépend des variables et que les valeurs «ordinaires» prennent. De de ce fait Flux logiquement l'élément suivant:

La fonction de la variable complexe peut être écrite comme suit:
où et - deux fonctions de deux valide variables.

La fonction est appelée la partie réelle Les fonctions.
La fonction est appelée partie imaginaire Les fonctions.

C'est-à-dire que la fonction de la variable complexe dépend des deux fonctions valides et. Pour enfin clarifier tout, envisager des exemples pratiques:

Exemple 1.

Décision:Une variable indépendante "ZET", comme vous vous en souvenez, est écrite sous la forme, donc:

(1) Dans la fonction d'origine configurée.

(2) Pour le premier terme, la formule de multiplication abrégée a été utilisée. Sur les crochets ouverts.

(3) soigneusement construit un carré, sans oublier que

(4) Réarrangements des termes: première réécriture des termes dans lequel il n'y a pas d'unité imaginaire (premier groupe), puis les composants où il y a (deuxième groupe). Il convient de noter qu'il n'est pas nécessaire de mélanger les composants et cette étape peut être ignorée (en fait, l'exécutant oralement).

(5) Le deuxième groupe que nous endurons derrière les supports.

En conséquence, notre fonction a été présentée sous la forme de

Répondre:
- la partie réelle de la fonction.
- une partie imaginaire de la fonction.

Qu'a-t-il eu pour les fonctions? Les fonctions les plus courantes de deux variables à partir desquelles vous pouvez trouver un tel populaire dérivés privés. Sans pitié, nous allons trouver. Mais un peu plus tard.

Brièvement, l'algorithme de la tâche prophétée peut être écrit comme suit: Dans la fonction d'origine, nous remplacons la simplification et divisons toutes les termes en deux groupes - sans une unité imaginaire (la partie réelle) et avec une unité imaginaire (partie imaginaire ).

Exemple 2.

Trouver une partie valide et imaginaire de la fonction

C'est un exemple pour s'auto-décider. Avant avec les dames, vous vous précipitez à bataille sur l'avion complexe, vous permettant de donner le conseil le plus important sur le sujet:

FAIS ATTENTION!Bien sûr, il faut bien sûr, mais dans des chiffres complexes devraient être attentifs, plus que jamais! N'oubliez pas que, ouvrez soigneusement les crochets, ne perdez rien. Selon mes observations, l'erreur la plus courante est la perte du signe. Ne te presse pas!

Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Maintenant cube. Utilisation de la formule de multiplication abrégée, retirer:
.

Les formules sont très pratiques à utiliser dans la pratique, car elles accélèrent de manière significative le processus de décision.

Différenciation des fonctions d'une variable complexe.

J'ai deux nouvelles: bon et mauvais. Je vais commencer par bien. Pour la fonction d'une variable complète, les règles de différenciation et la table des fonctions élémentaires dérivées. Ainsi, le dérivé est pris exactement comme dans le cas de la fonction de la variable effective.

La mauvaise nouvelle est que pour de nombreuses fonctions de la variable complexe, le dérivé n'existe pas du tout et il est nécessaire de savoir différentiellement Cette ou cette fonction. Et à "découvrir", comme votre cardiaque déploie, est associé à des problèmes supplémentaires.

Considérez la fonction de la variable complexe. Afin de cette fonctionnalité C'était différent et assez:

1) Existe des dérivés privés du premier ordre. Nous oublions immédiatement ces désignations, car dans la théorie de la fonction d'une variable complexe, une autre option est utilisée traditionnellement: .

2) de sorte que le soi-disant cauchy Riemann:

Ce n'est que dans ce cas il y aura un dérivé!

Exemple 3.

Décisionplié en trois étapes consécutives:

1) Trouvez une partie valide et imaginaire de la fonction. Cette tâche a été démontée dans des exemples précédents, donc je vais écrire sans commentaire:

Depuis:

De cette façon:

- une partie imaginaire de la fonction.

Je vais m'arrêter sur un moment technique: dans quel ordre Enregistrez les composants dans des parties réelles et imaginaires? Oui, en principe, sans différence. Par exemple, la partie réelle peut être écrite comme ceci: et imaginaire - comme ceci:.

2) Vérifiez l'accomplissement des conditions de Cauchy Riemann. Il y a deux d'entre eux.

Commençons à vérifier la condition. Trouve dérivés privés:

Ainsi, la condition est remplie.

Sans aucun doute, des nouvelles agréables - les dérivés privés sont presque toujours très simples.

Vérifiez l'exécution de la deuxième condition:

Il s'est avéré la même chose, mais avec des signes opposés, c'est-à-dire que la condition est également remplie.

Les conditions de la Cauchy Riemann sont effectuées, par conséquent, la fonction est différente.

3) Trouver une fonction dérivée. Le dérivé est également très simple et est situé sur les règles habituelles:

L'unité imaginaire pendant la différenciation est considérée comme une constante.

Répondre: - la partie réelle - partie imaginaire.
Les conditions de Cauchy-Riemann sont remplies.

Il y a deux autres moyens de trouver un dérivé, ils sont bien sûr appliqués moins souvent, mais les informations seront utiles pour comprendre la deuxième leçon - Comment trouver une fonction d'une variable complexe?

Le dérivé peut être trouvé par la formule:

Dans ce cas:

De cette façon

Il est nécessaire de résoudre la tâche opposée - dans l'expression résultante que vous devez sortir. Pour ce faire, il est nécessaire dans les composants et sortez le support:

L'action opposée, comme beaucoup remarquée, il est un peu plus difficile à exécuter, il est toujours préférable de prendre une expression pour vérifier et sur le brouillon ou révéler verbalement des crochets, en veillant à ce qu'il s'avérait exactement

Formule de miroir pour trouver un dérivé:

Dans ce cas: , donc:

Exemple 4.

Déterminer les parties réelles et imaginaires de la fonction . Vérifiez l'exécution des conditions Cauchy-Riemann. Dans le cas des conditions de Cauchy-Riemann, trouvez une fonction dérivée.

Résumé et un exemple d'échantillon exemplaire à la fin de la leçon.

Cauchy-Riemann est-il toujours satisfait? Théoriquement, ils ne sont pas plus souvent exécutés qu'ils ne sont effectués. Mais dans des exemples pratiques, je ne me souviens pas de l'affaire pour qu'ils ne soient pas exécutés \u003d) de manière à ce que vous ayez "ne comparativement pas" dérivés privés, puis avec une très forte probabilité que nous puissions dire que vous avez commis une erreur quelque part.

Compliquons nos fonctions:

Exemple 5.

Déterminer les parties réelles et imaginaires de la fonction . Vérifiez l'exécution des conditions Cauchy-Riemann. Calculer

Décision: Les solutions d'algorithme sont entièrement entretenues, mais à la fin, une nouvelle police ajoutera: Trouver le dérivé au point. Pour Cuba, la formule souhaitée a déjà été supprimée:

Nous définissons les parties réelles et imaginaires de cette fonctionnalité:

Attention et encore une fois l'attention!

Depuis:


De cette façon:
- la partie réelle de la fonction;
- une partie imaginaire de la fonction.

Vérification de la deuxième condition:

Il s'est avéré la même chose, mais avec des signes opposés, c'est-à-dire que la condition est également remplie.

Les conditions de Cauchy-Riemann sont effectuées, par conséquent, la fonction est différenciée:

Calculez la valeur de la dérivée au point souhaité:

Répondre: , Les conditions de Cauchy-Riemann sont effectuées,

Les fonctions avec des cubes sont souvent trouvées, donc un exemple de fixation:

Exemple 6.

Déterminer les parties réelles et imaginaires de la fonction . Vérifiez l'exécution des conditions Cauchy-Riemann. Calculer.

Décision et échantillon de la conception de finition à la fin de la leçon.

Dans la théorie de l'analyse complète, d'autres fonctions de l'argument complexe sont identifiées: exposants, sinus, cosinus, etc. Ces fonctions ont des propriétés inhabituelles et même bizarres - et c'est vraiment intéressant! Je veux vraiment dire, mais ici, il s'est avéré, pas un répertoire ni un didacticiel, et Reshebnik, donc je vais envisager la même tâche avec certaines fonctionnalités communes.

D'abord sur le soi-disant formules d'Euler:

Pour tout le monde valide NUMÉROS FAIR FORMULAS:

Vous pouvez également réécrire dans le cahier comme matériau de référence.

Strictement parlant, la formule n'est qu'une seule, mais elle est généralement écrite pour une commodité et un cas particulier avec un minimum d'indicateur. Le paramètre n'est pas obligé d'être un bec solitaire, comme une expression complexe, fonctionne, n'est important que de prendre seulement valable valeurs. En fait, nous le verrons maintenant:

Exemple 7.

Trouver une dérivée.

Décision: La ligne générale du lot reste inébranlable - il est nécessaire de mettre en évidence les parties réelles et imaginaires de la fonction. Je vais donner une décision détaillée, puis je vais installer chaque étape:

Parce qu'alors:

(1) substitut au lieu de "ZET".

(2) Après la substitution, vous devez mettre en évidence la partie réelle et imaginaire d'abord dans l'indicateur Exposants. Pour cela, révéler les crochets.

(3) Nous regroupons une partie imaginaire de l'indicateur, faisant une unité imaginaire pour les crochets.

(4) Nous utilisons l'action scolaire avec degrés.

(5) Pour un multiplicateur, nous utilisons la formule d'Euler, tandis que.

(6) révéler des crochets, par conséquent:

- la partie réelle de la fonction;
- une partie imaginaire de la fonction.

D'autres actions sont standard, vérifiez l'accomplissement des conditions de Cauchy-Riemann:

Exemple 9.

Déterminer les parties réelles et imaginaires de la fonction . Vérifiez l'exécution des conditions Cauchy-Riemann. Dérivé, alors soyez, ne pas devenir.

Décision: L'algorithme de solutions est très similaire aux deux exemples précédents, mais il y a très moments importantsDonc, la phase initiale que je reprendrai à nouveau pas à pas:

Parce qu'alors:

1) Nous nous substituons au lieu de "ZY".

(2) Tout d'abord, nous allouons la partie réelle et imaginaire inside Sinus. À ces fins, nous révélons les crochets.

(3) Nous utilisons la formule, tandis que .

(4) en utilisant cosinus hyperbolique prêt: JE. infertilité des sinus hyperboliques. Hyperboliki, mais pas de ce monde, mais ressemble en grande partie à des fonctions trigonométriques similaires.

Finalement:
- la partie réelle de la fonction;
- une partie imaginaire de la fonction.

Attention! Le signe "moins" fait référence à la partie imaginaire et ne le perd en aucun cas! Pour une illustration visuelle, le résultat obtenu ci-dessus peut être réécrit:

Vérifiez l'accomplissement des conditions Cauchy-Riemann:

Les conditions de Cauchy-Riemann sont faites.

Répondre: , Les conditions de Cauchy-Riemann sont remplies.

Avec cosinus, dames et messieurs, nous comprenons vous-même:

Exemple 10.

Déterminer la partie réelle et imaginaire de la fonction. Vérifiez l'exécution des conditions Cauchy-Riemann.

J'ai spécifiquement ramassé les exemples plus compliqués, car tout semble être nous-mêmes avec quelque chose avec des cacahuètes. Dans le même temps, nous prenons l'attention! Orekhokol à la fin de la leçon.

Eh bien, en conclusion, je vais considérer un autre exemple intéressantQuand un argument intégré est dans le dénominateur. Quelques fois dans la pratique ont été rencontrés, nous nous demandons quelque chose de simple. Hein, plus vieux ...

Exemple 11.

Déterminer la partie réelle et imaginaire de la fonction. Vérifiez l'exécution des conditions Cauchy-Riemann.

Décision: Il est nécessaire de mettre en évidence la partie réelle et imaginaire de la fonction.
Si donc

La question se pose, que faire quand "zet" est dans le dénominateur?

Tout est jolie - aidera la norme réception de la multiplication du numérateur et du dénominateur pour une expression de conjugué, Il a déjà été utilisé dans les exemples de la leçon Numéros complexes pour les théières. Nous nous souvenons de la formule de l'école. Dans le dénominateur, nous avons déjà, cela signifie qu'il y aura une expression conjuguée. Ainsi, vous devez multiplier le numérateur et le dénominateur sur:

où
- nombres réels, et - symbole spécialappelé unité imaginaire . Pour une unité imaginaire par définition, on croit que
.

(4.1) – forme algébrique nombre intégré, et
appelé la partie réelle nombre intégré, et
-partie imaginaire .

Nombre
appelé conjugué de manière complète au nombre
.

Laisser deux nombres complexes à donner
,
.

1. Somme
nombres complexes et un numéro complet est appelé

2. Différence
nombres complexes et un numéro complet est appelé

3. Travail
nombres complexes et un numéro complet est appelé

4. Privé de la division d'un nombre intégré sur un nombre complexe
un numéro complet est appelé

.

NOTE 4.1. En d'autres termes, les opérations sur des numéros complexes sont introduites par les règles habituelles pour les opérations arithmétiques sur les expressions de la lettre de l'algèbre.

Exemple 4.1.Il y a des nombres intégrés. Trouver

.

Décision.1) .

4) Numérateur de domination et dénominateur pour un numéro de dénominateur de manière complète, nous obtenons

Forme trigonométrique numéro intégré:

où
- Module de numéro intégré
- argument d'un nombre complexe. Angle déterminé ambiguë, avec précision du terme
:

,
.

- la valeur principale de l'argument déterminé par la condition

, (ou alors
).

Forme indicative numéro intégré:

.

Racine
ème degré il a différentes valeurs sur la formule

où
.

Points correspondant aux valeurs
sont les sommets de la droite
une place inscrite dans le cercle de rayon
avec le centre au début des coordonnées.

Exemple 4.2.Trouver toutes les valeurs racines
.

Décision.Imaginez un nombre complexe
sous forme trigonométrique:

,

De!
.

Puis
. Par conséquent, selon la formule (4.2)
il a quatre significations:

,
.

A cru
Trouve

,
,

, .

Ici, nous avons converti les valeurs de l'argument à sa valeur principale.

Se couche sur le plan complexe

Nombre complexe
représenté sur l'avion
point
avec coordonnées
. Module
et argument
correspondent aux coordonnées du point polaire
.

Il est utile de se rappeler que l'inégalité
spécifie le cercle avec le centre au point rayon . Inégalité
spécifie le demi-plan situé juste
et inégalité
- demi-plan situé au-dessus droit
. De plus, le système d'inégalité
spécifie l'angle entre les rayons
et
sortir du début des coordonnées.

Exemple 4.3.Dessinez une zone d'inégalités spécifiées:
.

Décision.La première inégalité correspond à la bague avec le centre au point
et deux rayons 1 et 2, la circonférence de la région n'est pas incluse (Fig. 4.1).

La deuxième inégalité correspond à l'angle entre les rayons.
(bissector 4 angle de coordination) et
(direction d'axe positif
). Les rayons eux-mêmes ne sont pas inclus dans la région (Fig. 4.2).

La zone souhaitée est l'intersection des deux zones obtenues (Fig. 4.3)

4.2. Fonctions variables complexes

Laisser la fonction sans ambiguïté
défini et continu dans la zone
, mais - courbe orientée fermée ou déverrouillée par morceaux
. Laissez, comme d'habitude,
,, où
,
- fonctions variables valides et .

Calcul de l'intégrale de la fonction
variable complexe se déclenche au calcul des intégrales curvilignes ordinaires, nommément

Si la fonction
analytique dans une zone à une seule connexion
montrer du doigt et , alors il y a une formule de Newton-Leibniz:

où
- n'importe quel type de fonction
, c'est à dire
dans la zone
.

Dans les intégrales des fonctions d'une variable complexe, une variable peut être remplacée et l'intégration de pièces est similaire à la manière dont cela se fait lors du calcul des intégrales des fonctions d'une variable valide.

Notez également que si le chemin d'intégration fait partie d'un point de départ droit , ou une partie du cercle avec le centre au point , il est utile de remplacer le type de variable
. Dans le premier cas
, mais - variable d'intégration valide; Dans le second cas
, mais - variable d'intégration valide.

Exemple 4.4.Calculer
parabler
de ce point
jusqu'au point
(Figure 4.4).

Exemple 4.5.Calculer intégrale
où - ARC ZONE
,
(Fig. 4.5).

Une fonction
, sans ambiguïté et analytique dans le ring
, se décompose dans cette bague dans rangez Laurent.

Dans la série Formula (4.5)
appelé la partie principale Rangée de Laurent, et une rangée
appelé la droite Rangée de Laurent.

Définition 4.1. Point appelépoint spécial isolé Les fonctions
S'il y a un quartier de ce point dans lequel la fonction
analytique partout, sauf le point lui-même .

Une fonction
dans le point de l'environnement Vous pouvez décomposer dans une rangée de Laurent. Dans le même temps, trois cas différents sont possibles lorsque la série Laurent:

1) Ne contient pas de membres ayant des degrés négatifs de la différence
, c'est à dire

(Un certain nombre de Laurent ne contiennent pas la partie principale). Dans ce cas appelé point spécial jetable Les fonctions
;

2) Contient un nombre fini de membres ayant des degrés négatifs de la différence
, c'est à dire

,

en outre
. Dans ce cas, le point appelé commande polycé Les fonctions
;

3) Contient un nombre infini de membres ayant des degrés négatifs:

.

Dans ce cas, le point appelé point significatif particulier Les fonctions
.

Lors de la détermination du caractère d'un point spécial isolé, il n'est pas nécessaire de rechercher la décomposition dans une rangée de Laurent. Vous pouvez utiliser diverses propriétés de points singuliers isolés.

1) est une fonction de fonctionnalité spéciale jetable
S'il y a une limite finie de la fonction
au point :

.

2) c'est une fonction de pôle
, si un

.

3) est une fonction sensiblement spéciale
si
la fonction n'a pas de limite, ni finie, ni infinie.

Définition 4.2. Point appelézéro.
ordre (ou multiplicité ) Les fonctions
Si les conditions sont satisfaites:

…,

.

NOTE 4.2. Point alors et seulement alors est zéro
ordre Les fonctions
Quand l'égalité a lieu dans un environnement de ce point

,

où fonctionne
analytique au point et

4) point Il est un ordre de pôle (
) Les fonctions
Si ce point est zéro ordre pour la fonction
.

5) laisser - fonction de point spécial isolé
où
- Fonctions analytiques au point . Et laissez le point C'est un ordre zéro les fonctions
et commande zéro les fonctions
.

Pour
point Il est un ordre de pôle
les fonctions
.

Pour
point est une fonction de fonctionnalité spéciale jetable
.

Exemple 4.6.Trouver des points isolés et définir leur type pour fonction
.

Décision.Les fonctions
et
- Analytique dans tout le plan complexe. Donc, des caractéristiques spéciales de la fonction
sont des zéros du dénominateur, c'est-à-dire les points où
. Il y a beaucoup de ces points. Tout d'abord, c'est un point
ainsi que des points satisfaisant l'équation
. D'ici
et
.

Considérer le point
. À ce stade, nous obtenons:

,
,

,
.

L'ordre de zéro est égal
.

,
,

,
,

,
,

,
.

.

Alors, point
est un pôle de seconde commande (
).

. Puis

,
.

L'ordre de zéro du numérateur est égal
.

,
,
.

L'ordre de zéro du dénominateur est égal
. Par conséquent, le point
pour
sont des pôles de première commande ( polonais simples ).

Théorème 4.1. (Théorème de Cauchy sur les déductions ). Si la fonction
est analytique à la frontière région
et partout dans la région, à l'exception du nombre final de points singuliers
T.

.

Lors du calcul des intégrales, il vaut la peine de trouver toutes les fonctionnalités spéciales de la fonction.
, puis dessinez du contour et des points spéciaux, puis choisissez uniquement les points qui sont venus à l'intérieur du contour de l'intégration. Faites le bon choix sans qu'une image est souvent difficile.

Méthode de calcul de la déduction
dépend du type de point spécial. Par conséquent, avant de calculer la déduction, vous devez déterminer le type de point spécial.

1) Fonction de déduction au point égal au coefficient de moins le premier degré en décomposition de Laranan
dans le point de l'environnement :

.

Cette affirmation est juste pour tous les types de points isolés, et donc dans ce cas, il n'est pas nécessaire de déterminer le type de point spécial.

2) La déduction dans un point spécial amovible est nulle.

3) si - Pôle simple (pôle de première commande) et fonction
peut être représenté comme
où
,
(Notez que dans ce cas
), puis déduction au point corbeau

.

En particulier, si
T.
.

4) si - Pôle simple, puis

5) si - Pôle
fonction de commande
T.

Exemple 4.7.Calculer intégrale
.

Ensuite, par formule (4.7), nous trouvons une déduction à ce stade:

En vertu du théorème 4.1 nous trouvons