Dans le cadre de l'étude de transformations identiques, le thème de la fabrication facteur commun en dehors des crochets. Dans cet article, nous allons expliquer ce qu'est exactement une telle transformation, en déduire la règle de base et analyser des exemples typiques de tâches.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Le concept de factoriser un multiplicateur
Pour appliquer avec succès cette transformation, vous devez savoir pour quelles expressions elle est utilisée et quel résultat vous devez obtenir en conséquence. Expliquons ces points.
Vous pouvez retirer le facteur commun des parenthèses dans les expressions qui sont des sommes dans lesquelles chaque terme est un produit, et chaque produit a un facteur commun (le même) pour tous. C'est ce qu'on appelle le facteur commun. Nous le sortirons des parenthèses. Donc si nous avons des œuvres 5 3 et 5 4, alors nous pouvons factoriser le facteur commun 5.
Quelle est cette métamorphose ? Au cours de celle-ci, nous représentons l'expression originale comme le produit du facteur commun et de l'expression entre parenthèses, contenant la somme de tous les termes originaux, à l'exception du facteur commun.
Prenons l'exemple ci-dessus. Déplacer le facteur commun de 5 à 5 3 et 5 4 et on obtient 5 (3 + 4). L'expression finale est le produit du facteur commun 5 par l'expression entre parenthèses, qui est la somme des termes originaux sans 5.
Cette métamorphose est basé sur la propriété distributive de la multiplication, que nous avons déjà étudiée auparavant. Sous forme littérale, il peut être écrit comme a (b + c) = a b + a c... En remplaçant le côté droit par le gauche, nous verrons un schéma pour mettre le facteur commun en dehors des parenthèses.
La règle pour mettre le facteur commun hors des parenthèses
En utilisant tout ce qui précède, nous dérivons la règle de base pour une telle transformation :
Définition 1
Pour factoriser le facteur commun, vous devez écrire l'expression d'origine comme le produit du facteur commun et des parenthèses, qui incluent la somme d'origine sans le facteur commun.
Exemple 1
Prenons un exemple simple de rendu. On a une expression numérique 3 7 + 3 2 - 3 5, qui est la somme de trois termes 3 7, 3 2 et d'un facteur commun de 3. Prenant comme base la règle que nous avons dérivée, nous écrivons le travail sous la forme 3 (7 + 2 - 5)... C'est le résultat de notre transformation. L'enregistrement de l'ensemble de la solution ressemble à ceci : 3 7 + 3 2 - 3 5 = 3 (7 + 2 - 5).
Nous pouvons retirer le facteur des parenthèses non seulement dans les expressions numériques, mais aussi dans les expressions littérales. Par exemple, dans 3x - 7x + 2 vous pouvez retirer la variable x et obtenir 3 x - 7 x + 2 = x (3 - 7) + 2, dans l'expression (x 2 + y) x y - (x 2 + y) x 3- facteur commun (x 2 + y) et arrive à la fin (x 2 + y) (x y - x 3).
Il n'est pas toujours possible de déterminer immédiatement quel facteur est commun. Parfois, une expression doit être pré-transformée en remplaçant des nombres et des expressions par des produits identiques.
Exemple 2
Ainsi, par exemple, dans l'expression 6 x + 4 ans vous pouvez retirer un facteur commun de 2, non écrit explicitement. Pour le trouver, nous devons transformer l'expression originale, représentant six en 2 × 3 et quatre en 2 × 2. C'est à dire 6 x + 4 y = 2 3 x + 2 2 y = 2 (3 x + 2 y)... Ou dans l'expression x 3 + x 2 + 3 x peut être retiré des parenthèses le facteur commun x, qui se trouve après le remplacement x 3 sur le x x 2. Cette transformation est possible grâce aux propriétés de base du diplôme. On obtient ainsi l'expression x (x 2 + x + 3).
Un autre cas, qui devrait être discuté séparément, est la parenthèse du moins. Ensuite, nous retirons non pas le signe lui-même, mais moins un. Par exemple, on transforme ainsi l'expression - 5 - 12 x + 4 x y... Réécrivons l'expression comme (- 1) 5 + (- 1) 12 x - (- 1) 4 x y afin que le facteur commun puisse être vu plus clairement. Sortons-le des parenthèses et obtenons - (5 + 12 x - 4 x y). Dans cet exemple, vous pouvez voir que le même montant entre parenthèses est obtenu, mais avec des signes opposés.
Dans les conclusions, on note que la transformation en prenant le facteur commun hors des parenthèses est très souvent utilisée en pratique, par exemple, pour calculer la valeur d'expressions rationnelles. Cette méthode est également utile lorsque vous devez représenter une expression en tant que produit, par exemple, pour factoriser un polynôme en facteurs séparés.
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Définition 1
Souvenons-nous d'abord règles pour multiplier un monôme par un monôme :
Pour multiplier un monôme par un monôme, il faut d'abord multiplier les coefficients des monômes, puis utiliser la règle des puissances multipliées avec la même base pour multiplier les variables incluses dans les monômes.
Exemple 1
Trouver le produit des monômes $ (2x) ^ 3y ^ 2z $ et $ (\ frac (3) (4) x) ^ 2y ^ 4 $
Solution:
On calcule d'abord le produit des coefficients
$ 2 \ cdot \ frac (3) (4) = \ frac (2 \ cdot 3) (4) $ dans cette tâche, nous avons utilisé la règle de multiplication d'un nombre par une fraction - pour multiplier un entier par une fraction, vous avez besoin multiplier le nombre par le numérateur de la fraction, et le dénominateur mis inchangé
Nous allons maintenant utiliser la propriété de base de la fraction - le numérateur et le dénominateur d'une fraction peuvent être divisés par le même nombre autre que $ 0 $. Divisez le numérateur et le dénominateur 6l de cette fraction par $ 2 $, c'est-à-dire que nous pouvons réduire la fraction donnée $ 2 \ cdot \ frac (3) (4) $ = $ \ frac (2 \ cdot 3) (4) = \ \ frac (3 ) (2) $
Le résultat s'est avéré être une fraction incorrecte, c'est-à-dire avec un numérateur plus grand que le dénominateur.
Nous transformons cette fraction par sélection de la partie entière. Rappelons que pour mettre en évidence la partie entière, il faut des quotients incomplets, la division résultante du numérateur par le dénominateur doit être écrite en partie entière, le reste de la division en numérateur de la partie fractionnaire, le diviseur en dénominateur .
Nous avons trouvé le coefficient du futur produit.
Maintenant nous allons multiplier séquentiellement les variables $ x ^ 3 \ cdot x ^ 2 = x ^ 5 $,
$ y ^ 2 \ cdot y ^ 4 = y ^ 6 $. Ici nous avons utilisé la règle de multiplication des puissances avec la même base : $ a ^ m \ cdot a ^ n = a ^ (m + n) $
Alors le résultat de la multiplication des monômes sera :
$ (2x) ^ 3y ^ 2z \ cdot (\ frac (3) (4) x) ^ 2y ^ 4 = 1 \ frac (1) (2) x ^ 5y ^ 6 $.
Ensuite, en fonction de cette règle, vous pouvez effectuer la tâche suivante :
Exemple 2
Représenter un polynôme donné comme le produit d'un polynôme et d'un monôme $ (4x) ^ 3y + 8x ^ 2 $
Représentons chacun des monômes qui composent un multilène comme le produit de deux monômes afin de sélectionner un monôme commun, qui sera un facteur à la fois dans le premier et le deuxième monômes.
Tout d'abord, nous commençons par le premier monôme $ (4x) ^ 3y $. Décomposons son coefficient en facteurs premiers : $ 4 = 2 \ cdot 2 $. On fera de même avec le coefficient du deuxième monôme $ 8 = 2 \ cdot 2 \ cdot 2 $. Notez que deux facteurs $ 2 \ cdot 2 $ sont inclus dans les premier et deuxième coefficients, donc $ 2 \ cdot 2 = 4 $ - ce nombre sera inclus dans le monôme commun en tant que coefficient
Faites maintenant attention que dans le premier monôme il y a $ x ^ 3 $, et dans le second la même variable à la puissance 2 : x ^ 2 $. Par conséquent, il est pratique de représenter la variable $ x ^ 3 $ comme suit :
La variable $ y $ est incluse dans un seul terme du polynôme, elle ne peut donc pas être incluse dans le monôme général.
Nous représentons les premier et deuxième monômes inclus dans le polynôme sous la forme d'un produit :
$ (4x) ^ 3y = 4x ^ 2 \ cdot xy $
$ 8x ^ 2 = 4x ^ 2 \ cdot 2 $
Notez que le monôme commun, qui sera un facteur à la fois dans le premier et le deuxième monôme, est de $ 4x ^ 2 $.
$ (4x) ^ 3y + 8x ^ 2 = 4x ^ 2 \ cdot xy + 4x ^ 2 \ cdot 2 $
Maintenant, nous appliquons la loi de distribution de la multiplication, puis l'expression résultante peut être représentée comme le produit de deux facteurs. L'un des facteurs sera le facteur commun : $ 4x ^ 2 $ et l'autre sera la somme des facteurs restants : $ xy + 2 $. Veux dire:
$ (4x) ^ 3y + 8x ^ 2 = 4x ^ 2 \ cdot xy + 4x ^ 2 \ cdot 2 = 4x ^ 2 (xy + 2) $
Cette méthode s'appelle factorisation à l'aide d'un facteur commun.
Le facteur commun dans ce cas était le monôme $ 4x ^ 2 $.
Algorithme
Remarque 1
Trouvez le plus grand diviseur commun des coefficients de tous les monômes inclus dans le polynôme - ce sera le coefficient du facteur monôme commun, que nous prendrons en dehors des parenthèses
Le monôme constitué du coefficient trouvé à l'item 2, les variables trouvées à l'item 3 seront le facteur commun. qui peut être retiré des parenthèses comme un facteur commun.
Exemple 3
Factorisez le facteur commun de $ 3a ^ 3- (15a) ^ 2b + 4 (5ab) ^ 2 $
Solution:
Trouvez le pgcd des coefficients pour cela, nous décomposons les coefficients en facteurs premiers
45 $ = 3 \ cdot 3 \ cdot 5 $
Et on va trouver le produit de ceux qui sont inclus dans la décomposition de chacun :
Identifiez les variables qui font partie de chaque monôme et sélectionnez la variable avec le plus petit exposant
$ a ^ 3 = a ^ 2 \ cdot a $
La variable $ b $ n'est incluse que dans les deuxième et troisième monômes, ce qui signifie qu'elle n'entrera pas dans le facteur commun.
Composons le monôme, constitué du coefficient trouvé dans l'élément 2, les variables trouvées dans l'élément 3, nous obtenons : $ 3a $ - ce sera le facteur commun. ensuite:
$ 3a ^ 3- (15a) ^ 2b + 4 (5ab) ^ 2 = 3a (a ^ 2-5ab + 15b ^ 2) $
Cours de mathématiques en 7e année
| 1. | Nom complet (complet) | Trofimenko Nadejda Pavlovna |
| 2. | Lieu de travail | MOU "École Miloslavskaya" |
| 3. | Position | Professeur de mathématiques |
| 4. | Article | |
| 5. | Classer | |
| 6. | Sujet et numéro de leçon dans le sujet | Sortir le facteur commun des parenthèses (1 leçon par thème) |
| 7. | Tutoriel de base | Miam. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabounine. Manuel "Algebra Grade 7" pour les organisations éducatives. M. Education. 2016. |
8. Objectifs de la leçon
Pour le professeur :
éducatif
organiser des activités pédagogiques :
Sur la maîtrise de l'algorithme pour sortir le facteur commun des parenthèses et comprendre la logique de sa construction ;
En développant la capacité à appliquer l'algorithme pour mettre le facteur commun hors des parenthèses
développement
créer les conditions du développement des compétences réglementaires :
Déterminez vous-même vos objectifs activités d'apprentissage;
Planifier des moyens d'atteindre les objectifs ;
Corréler vos actions avec les résultats prévus ;
Surveiller et évaluer les activités d'apprentissage en fonction des résultats ;
Organiser une coopération pédagogique et des activités conjointes avec l'enseignant et les pairs.
- éducatif
Créer les conditions pour la formation d'une attitude responsable vis-à-vis de l'apprentissage ;
Créer les conditions du développement de l'autonomie des élèves dans l'organisation et la mise en œuvre de leurs activités pédagogiques.
Créer les conditions d'une éducation patriotique
Créer les conditions d'une éducation à l'environnement
Pour les étudiants :
Maîtriser l'algorithme pour sortir le facteur commun des parenthèses et comprendre la logique de sa construction ;
Développer la capacité d'appliquer l'algorithme pour prendre le facteur commun en dehors des parenthèses
9.UUD utilisé : réglementaire (fixation d'objectifs, planification des activités, suivi et évaluation)
10.Type de cours : apprendre du nouveau matériel
11.Formes de travail des étudiants : frontale, hammam, individuelle
12. NécessaireEquipement technique: ordinateur, projecteur, logo de la leçon, manuels de mathématiques, présentation électronique Power Point, documents à distribuer
Structure de la leçon et cours
| Étapes de la leçon | Activité de l'enseignant | Activités étudiantes | Éducatif | ||
| Organisationnel | Bonjour gars! je suis très content de voir toi! La devise de notre leçon : J'entends et j'oublie. Donnons à notre leçon une couleur inhabituelle (l'emblème d'un arbre vert et d'un cœur rouge), un emblème au tableau. A la fin de la leçon, nous vous dévoilerons le secret de cet emblème. | Vérifier lieu de travail, saluer le professeur, rejoindre le rythme de travail de la leçon | |||
| Actualisation des connaissances et motivation | Aujourd'hui, dans la leçon, vous apprendrez de nouvelles matières. Mais d'abord, travaillons à l'oral. 1. Effectuez la multiplication des monômes : 2a 2 * 3av; 2av * (- un 4) ; 6x 2 * (- 2x); -3s * 5x; -3x * (- xy 2) ; - 4a 2 pouces * (- 0.2av 2) Si la réponse est correcte, la première lettre est ouverte 2) Quels monômes doivent être mis à la place de * pour obtenir l'égalité correcte : x 3 * = x 6; - un 6 = un 4 * ; * y 7 = y 8; -2a 3 * = 8a 5; 5x 4 * = 25x 2 et 6. Si la réponse est correcte, la deuxième lettre est ouverte. 3) Introduire un monôme 12x 3 à 4 comme le produit de deux facteurs, dont l'un est 2x 3 ; 3 ans 3 ; -4x ; 6xy ; -2x 3 à ; 6x 2 à 2 . Si la réponse est correcte, la troisième lettre est ouverte. 4) Présent différentes façons monôme 6x 2 à comme produit de deux facteurs. Ouverture de la 4ème lettre 5) L'élève a multiplié le monôme par un polynôme, après quoi le monôme a été effacé. Reconstruisez-le ... * (x - y) = 3ax - 3au ... * (- x + y 2 - 1) = xy 2 - y 4 + y ... * (a + b - 1) = 2ax + 2in - 2x ... * (a - b) = a 2 b - a 3 ... * (2a 2 - 3) = 10a 4 - 15u 2. Ouvrez la lettre 5 6.Calculer 768*95 – 668*95 = 76,8*9,5 + 23,2*9,5 = Nous ouvrons la 6ème lettre. Les lettres donnaient le nom de famille du mathématicien allemand. | Exécuter oralement la tâche Commenter la décision en utilisant les règles Ouvrir les lettres au tableau Étudiant (a reçu une tâche à l'avance) Référence historique : Michel Stiefel (1487-1567), mathématicien allemand et prédicateur itinérant auteur du livre "Complete Arithmetic", il a introduit le terme "exposant", et a également considéré les propriétés des polynômes et a apporté une contribution significative au développement de l'algèbre. (photo) | |||
| 3. Fixation d'objectifs et motivation | Fournir une motivation pour l'apprentissage par les enfants, leur acceptation des objectifs de la leçon. | Au tableau : Trouver valeur d'expression mais 2 - 3av à a = 106,45 ; h = 2,15 . Comment faire? a) Vous pouvez substituer des valeurs numériques mais et dans et trouver le sens de l'expression, mais c'est difficile. c) Pouvez-vous faire autrement ? Comment? Écrivez le sujet de la leçon au tableau : « Sortir le facteur commun des parenthèses ». Les gars, nous écrivons soigneusement! N'oubliez pas qu'environ 17 arbres matures doivent être coupés pour produire une tonne de papier. Essayons de définir les objectifs de la leçon selon le schéma: Avec quels concepts allez-vous vous familiariser ? Quelles compétences et capacités allons-nous maîtriser? | Proposer ses propres solutions | ||
| 4. Assimilation de nouvelles connaissances et méthodes d'assimilation (première connaissance du matériau) | Assurer la perception, la compréhension et la mémorisation primaire par les enfants du sujet étudié | Nous ouvrons les pages 120-121 du manuel, lisons et répondons aux questions de la page 121. Mettre en évidence les points de l'algorithme Algorithme pour placer le facteur commun en dehors des parenthèses Trouver le facteur commun des coefficients des polynômes Déplacez-le en dehors du support 3.Professeur: Je vais donner un exemple de mise en dehors des crochets d'un facteur en russe. Dans l'expression « Prenez un livre, prenez un stylo, prenez un cahier » la fonction du facteur commun est assurée par le verbe « prendre », et un livre, un cahier et un stylo sont des ajouts. 4 J'ai écrit une règle pour multiplier un monôme par un polynôme sous la forme d'un diagramme. Essayez de dessiner une règle de facteur commun schématique | Lire le matériel Répondez aux questions Trouver une feuille avec un algorithme
Ah, maintenant essayez-vous : Dessiner un schéma inversé au tableau | ||
| 5. Détente | Comprend un dessin animé de quête d'été Du temps d'hiver, nous nous trouvons dans un été chaud. Mais le fragment est instructif, essayez de saisir l'idée principale | Ils regardent un fragment du dessin animé et concluent sur la beauté de leur terre natale | Fragment du dessin animé "Quête d'été" | ||
| 6. Ancrage primaire | Établir l'exactitude et la prise de conscience de l'étude du sujet. Identification des lacunes dans la compréhension primaire du matériel étudié, correction des lacunes identifiées, en veillant à ce que les connaissances et les méthodes d'action dont ils ont besoin pour travailler de manière autonome sur le nouveau matériel soient consolidées dans la mémoire des enfants. | Frontal à la planche : № 318, 319, 320,321,324,325,328 A son tour, à volonté | Décider au conseil avec commentaires | ||
| 6. Organisation du contrôle primaire | Identifier la qualité et le niveau d'assimilation des connaissances et des méthodes d'action, ainsi qu'identifier les lacunes dans les connaissances et les méthodes d'action, établir les causes des lacunes identifiées | Ils décident indépendamment du texte sur les morceaux de papier et vérifient les réponses au tableau : TRAVAIL INDÉPENDANT (différencié) Option 1 Terminez la factorisation du polynôme : 5ax - 30au = 5a (………… ..) x 4 - 5x 3 - x 2 = x 2 (………… ..) Factorisez le polynôme - 5av + 15a 2 in, en retirant le facteur des parenthèses : a) 5a ; b) -5a. Facteur: 5x + 5y = 7av + 14ac = 20a - 4b = 5mn - 5 = ax - ay = 3x 2 - 6x = 2a - 10au = 15a 2 + 5a 3 = 2 option Terminer l'enregistrement : 18v + 16v = 2v (…………) 4a 2 s - 8ac = 4ac (……… ..) Factoriser le polynôme -15a 2 b + 5a 4 de deux manières : a) en retirant le facteur 5av des parenthèses ; b) en retirant le facteur -5av des parenthèses. 5x + 6xy = 2av - 3a 3 b = 12av - 9v = x 3 -4x 2 + 6x = 6a 4 - 4a 2 = 4a 4 -8a 3 + 12a 2 = 24x 2 y -12xy = 9v 2 -6v 4 + 3v = 4. Trouvez la valeur de l'expression en la factorisant : xy 2 + y 3 à x = 97, y = 3. Option 3 Factorisez le facteur commun et testez en multipliant le monôme par un polynôme : a) 12xy + 18x = b) 36a 2 - 12a 2 c = 2. Terminez l'enregistrement : 18a 3 en 2 + 36av = 18av (…………) 18a 3 en 2 + 36av = -18av (…………) 3. Factorisez le facteur commun : 12a 2 + 16a = -11x 2 y 2 + 22xy = 2a 4 -6a 2 = -12a 3 contre 3 + 6av = 30a 4 v-6av 4 = x 8 -8x 4 + x 2 = 4. Remplacez M par un polynôme ou un monôme de sorte que l'égalité résultante soit une identité : 12a 2 b-8av 2 + 6av = M * (6a-4b + 3) 15x 2 ans-10x3a2 + 25x 4 ans 3 = 5x 2 ans * M 5. Trouvez le sens de l'expression : a) 2,76a-ab avec a = 1,25 et b = 0,76 ; b) 2xy + 2y 2 à x = 0,27 et b = 0,73. | Ils font leur travail, une fois terminé ils reçoivent les clés et vérifient, mettent + ou moins, évaluent leur travail selon les critères au tableau : (réponses au tableau) 10-12 points - "5" 8-9 points - "4" 6-7 points - "3" Moins de 6 - plus de travail doit être fait. | Fiches de travail différentielles | |
| 7. Résumer la leçon. | Donner une évaluation qualitative du travail de la classe et des stagiaires individuels | Pour noter les étudiants qui travaillent activement et résumer les résultats du travail indépendant : Levez les mains, qui a 5,4,3. | Analyser leur travail | ||
| 8. Informations sur les devoirs | Veiller à ce que les enfants comprennent le but, le contenu et les façons de faire leurs devoirs. | Paragraphe 19 Nous faisons selon les exemples de travaux en classe | Écrire des devoirs dans un journal | ||
| 9. Réflexion | Professeur: C'était une leçon - la recherche. Nous cherchions des points de contact les uns avec les autres, avons appris à communiquer et avons également révélé l'une des méthodes d'explication et de consolidation du sujet. Revenons aux objectifs de la leçon et analysons comment nous les avons atteints. Et de quoi d'autre avons-nous parlé à part retirer le facteur commun des parenthèses ? Retour au logo de la leçon. | Lire les objectifs et analyser leur mise en œuvre Sur le lien entre les mathématiques et la langue russe, De la beauté de la terre natale, de l'écologie |
Chichaeva Darina 8v grade
Dans le travail, un élève de 8e année a écrit la règle de factorisation d'un polynôme en facteurs en prenant le facteur commun en dehors des parenthèses avec une solution détaillée à de nombreux exemples sur ce sujet. Pour chaque exemple analysé, 2 exemples sont proposés pour décision indépendante auxquels il y a des réponses. Le travail aidera à étudier ce sujet les étudiants qui, pour une raison quelconque, ne le maîtrisent pas lors de la réussite du programme de la 7e année et (ou) lors de la répétition du cours d'algèbre en 8e année après les vacances d'été.
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Établissement d'enseignement budgétaire municipal
école secondaire №32
« Ecole associée de l'UNESCO » Eureka-Développement »
Volzhsky, région de Volgograd
Travaux achevés:
Élève de 8e année
Chichaeva Darina
Voljski
2014
Sortir le commun des parenthèses
- - Une façon de factoriser un polynôme estsortir le facteur commun des parenthèses ;
- - En sortant le facteur commun entre parenthèses, lepropriété de distribution;
- - Si tous les membres du polynôme contiennent facteur commun, alors ce facteur peut être retiré des parenthèses.
Lors de la résolution d'équations, dans les calculs et dans un certain nombre d'autres problèmes, il est utile de remplacer un polynôme par le produit de plusieurs polynômes (parmi lesquels il peut y avoir des monômes). Représenter un polynôme comme un produit de deux ou plusieurs polynômes s'appelle factoriser un polynôme.
Considérons le polynôme 6a 2b + 15b 2 ... Chacun de ses termes peut être remplacé par le produit de deux facteurs dont l'un est égal à 3b : → 6a 2 b = 3b * 2a 2, + 15b 2 = 3b * 5b → de là on obtient : 6a 2b + 15b 2 = 3b * 2a 2 + 3b * 5b.
L'expression résultante basée sur la propriété de distribution de la multiplication peut être représentée comme un produit de deux facteurs. L'un d'eux est le facteur commun 3b et l'autre est la somme 2a 2 et 5b → 3b * 2a 2 + 3b * 5b = 3b (2a 2 + 5b) → Ainsi, nous avons développé le polynôme : 6a 2b + 15b 2 par des facteurs, le représentant comme un produit d'un monôme 3b et polynôme 2a 2 + 5b. Cette méthode factoriser un polynôme s'appelle sortir le facteur commun des parenthèses.
Exemples:
Facteur:
A) kx-px.
Multiplicateur x x sortir des crochets.
kx : x = k ; px : x = p.
On obtient : kx-px = x * (k-p).
b) 4a-4b.
Multiplicateur 4 est dans le terme 1 et le terme 2. donc 4 sortir des crochets.
4a : 4 = a ; 4b : 4 = b.
On obtient : 4a-4b = 4 * (a-b).
c) -9m-27n.
9m et -27n sont divisibles par -9 ... Par conséquent, nous retirons le facteur numérique en dehors des parenthèses-9.
9 m : (-9) = m ; -27n : (-9) = 3n.
On a : -9m-27n = -9 * (m + 3n).
d) 5 ans 2 -15 ans.
5 et 15 sont divisibles par 5 ; y 2 et y sont divisibles par y.
Par conséquent, nous retirons le facteur commun en dehors des parenthèses 5 ans.
5y 2 : 5y = y ; -15 ans : 5 ans = -3.
Donc : 5y 2 -15y = 5y * (y-3).
Commenter: A partir de deux degrés avec la même base, on retire le degré avec un exposant inférieur.
e) 16 ans 3 + 12 ans 2.
16 et 12 sont divisibles par 4 ; y 3 et y 2 sont divisibles par y 2.
D'où le facteur commun 4 ans 2.
16 ans 3 : 4 ans 2 = 4 ans ; 12 ans 2 : 4 ans 2 = 3.
En conséquence, nous obtenons : 16 ans 3 + 12 ans 2 = 4 ans 2 * (4 ans + 3).
f) Factoriser le polynôme 8b (7a + a) + n (7a + a).
DANS cette expression nous voyons que le même facteur est présent(7 ans + un) , qui peut être retiré des parenthèses. Ainsi, nous obtenons :8b (7a + a) + n (7a + a) = (8b + n) * (7a + a).
g) a (b-c) + d (c-b).
Expressions b-c et c-b sont opposés. Par conséquent, pour les rendre identiques, avant d remplacez le signe "+" par "-":
a (b-c) + d (c-b) = a (b-c) -d (b-c).
a (b-c) + d (c-b) = a (b-c) -d (b-c) = (b-c) * (a-d).
Exemples de solution indépendante :
- mx + ma;
- ah + oui ;
- 5x + 5y ;
- 12x + 48y;
- 7x + 7bx ;
- 14x + 21 ans ;
- –Ma-a ;
- 8mn-4m2;
- -12 ans 4 -16 ans ;
- 15 ans 3 -30 ans 2 ;
- 5c (y-2c) + y 2 (y-2c);
- 8m (a-3) + n (a-3) ;
- x (y-5) -y (5-y) ;
- 3a (2x-7) + 5b (7-2x) ;
Réponses.
1) m (x + y); 2) un (x + y); 3) 5 (x + y); 4) 12 (x + 4y); 5) 7x (a + b); 6) 7 (2x + 3y); 7) -a (m+1); 8) 4m (2n-m);
9) -4 ans (3 ans 3 +4) ; 10) 15 ans 2 (an-2); 11) (y-2c) (5c + y 2); 12) (a-3) (8m + n); 13) (y-5) (x + y); 14) (2x-7) (3a-5b).
§ 10. Factorisation des polynômes par la méthode factoriser le facteur commun
En 6e année, nous avons décomposé les nombres composés en facteurs premiers, c'est-à-dire que nous avons fourni des nombres naturels sous la forme d'un produit. Par exemple, 12 = 2 2 3 ; 105 = 3 5 7 dr.
Certains polynômes peuvent également être représentés comme un produit. Cela signifie que ces polynômes peuvent être décomposés en facteurs. Par exemple, 5a : - 5y - 5 (x - y) ; a 3 et 3a 2 = a 2 (a + 3) et similaires.
Considérez l'une des façons de factoriser les polynômes - en retirant le facteur commun des parenthèses. L'un des exemples connus d'une telle décomposition est la propriété de distribution de la multiplication a (b + c) = ab + ac, si elle est écrite dans l'ordre inverse : ab + ac - a (b + c). Cela signifie que le polynôme ab + ac a été décomposé en deux facteurs a et b + c.
Lors de la factorisation de polynômes à coefficients entiers, le facteur qui est sorti des parenthèses est choisi de telle sorte que les termes du polynôme qui restent entre parenthèses n'aient pas de facteur de lettre commun et que les modules de leurs coefficients n'aient pas de diviseurs communs.
Regardons quelques exemples.
Exemple 1. Expression factorielle :
3) 15 à 3 b - 10 à 2 b 2.
Section
1) Le facteur commun est 4, donc
8m + 4 = 4 ... 2m + 4 1 = 4 (2m + 1).
2) Le facteur commun est la variable a, donc
à + 7ap = a (t + 7p).
3) Dans ce cas, le facteur numérique commun est le plus grand diviseur commun des nombres 10 et 15 - le nombre 5, et le facteur alphabétique commun est le monôme a 2 b. Alors,
15 3 b - 10 2 b 2 = 5 2 b 3 - 5a 2 b b = 5 2 b (3 - 2b).
Exemple 2. Décomposer en termes de facteurs :
1) 2m (b - c) + 3p (b - c) ;
2) x (y - t) + c (t - b).
Section
1) Dans ce cas, le facteur commun est le binaire b = c.
Par conséquent, 2m ( b - avec) + 3p ( b - c) = (b - c) (2m + 3p).
2) Les termes ont des facteurs in - t et t - in, qui sont des expressions opposées. Par conséquent, dans le deuxième terme, on retire le facteur -1 des parenthèses, on obtient : c (t - в) = -с (у - t).
Par conséquent, x (y - t) + c (t - b) = x (y - t) - c (y - t) = (y - t) (x - c).
Pour vérifier l'exactitude de la factorisation, multipliez les facteurs résultants. Le résultat doit être égal au polynôme donné.
La factorisation des polynômes simplifie souvent le processus de résolution d'une équation.
Exemple 3. Trouvez les racines de l'équation 5x 2 - 7x = 0.
Section On factorise le membre gauche de l'équation en facteurs en mettant le facteur commun hors des parenthèses : x (5x - 7) = 0. En tenant compte du fait que le produit est nul si et seulement si au moins un des facteurs est nul, on aura : x = 0 ou 5x - 7 = 0, d'où x = 0 ou x = 1,4.
Réponse : 0 ; 1.4.
Quelle transformation est appelée factorisation d'un polynôme ? En utilisant le polynôme ab + ac comme exemple, expliquez comment la factorisation est effectuée en factorisant le facteur commun en dehors des parenthèses.
- (Verbalement) Trouvez le facteur commun dans l'expression :
- Facteur (verbalement) :
- Factorisez le facteur commun :
- (Verbalement) a correctement fait les factorisations :
1) 7a + 7 = 7a ;
2) 5m - 5 = 5 (m - 5);
3) 2a - 2 = 2 (a - 1);
4) 7xy - 14x = 7x - (y - 2);
5) 5mn + bn = 5m (n + 3) ;
6) 7ab + 8cb = 15b (a + c) ?
- Notez le montant en tant que produit :
- Facteur:
- Facteur:
4) 7a + 21au ;
5) 9x 2 - 27x;
6) 3à - 9à 2 ;
8) 12x - 4a 2;
9) -18xy + 24v 2;
10) a 2 b - ab 2;
11) pm - p 2 m;
12) -x 2 y 2 - xy.
- Factorisez le facteur commun :
4) 15xy + 5x ;
6) 15m - 30m2;
7) 9xy + 6x 2 ;
9) -p 2 q - pq 2.
- Facteur:
5) 3b 2 - 9b 3;
7) 4 ans 2 + 12 ans 4 ;
8) 5m 5 + 15m 2 ;
9) -16a 4 - 20a.
- Facteur:
4) 18p 3 - 12p 2 ;
5) 14b 3 + 7b 4;
6) -25m 3 - 20m.
- Écrivez la somme de 6x 2 en + 15x en tant que produit et trouvez sa valeur si x = -0,5, y = 5.
- Écrivez l'expression 12a 2 b - 8a en tant que produit et trouvez sa valeur si a = 2, 6 =.
- Factorisez le facteur commun :
1) un 4 + un 3 - un 2 ;
2) m 9 - m 2 + m 7;
3) b 6 + b 5 - b 9;
4) - à 7 - à 12 - à 3.
- Présenter comme une œuvre :
1) p 7 + p 3 - p 4;
2) un 10 - un 5 + un 8 ;
3) b 7 - b 5 - b 2;
4) -m 8 - m 2 - m 4.
- Calculez de manière pratique :
1) 132 ∙ 27 + 132 ∙ 73;
2) 119 ∙ 37 - 19 ∙ 37.
- Résous l'équation:
1) x 2 - 2x = 0 ;
2) x 2 + 4x = 0.
- Trouver les racines de l'équation :
1) x 2 + 3x = 0 ;
2) x 2 -7x = 0.
1) 4a 3 + 2a 2 - 8a ;
2) 9b 3 - 3b 2 - 27b 6 ;
3) 16m 2 - 24m 6 - 22m 3;
4) -5b 3 - 20b 2 - 25b 5.
- Factorisez le facteur commun :
1) 5s 8 - 5s 7 + 10s 4 ;
2) 9m 4 + 27m 3 - 81m ;
3) 8p 7 - 4p 5 + 10p 3 ;
4) 21b - 28b 4 - 14b 3.
- Factorisez le facteur commun :
1) 7m 4 - 21m 2 n 2 + 14m 3;
2) 12a 2b - 18ab 2 + 30ab 3 ;
3) 8x 2 y 2 - 4x 3 en 5 + 12x 4 en 3;
4) 5p 4 q 2 - 10p 2 q 4 + 15pq 3.
- Factoriser le polynôme :
1) 12a - 6a 2 x 2 - 9a 3 ;
2) 12b 2 c - 18b 3 - 30b 4 c ;
3) 16bx 2 - 8b 2 x 3 + 24b 3 x ;
4) 60m 4 n 3 - 45m 2 n 4 + 30m 3 n 5.
- Calculez de manière pratique :
1) 843 ∙ 743 - 743 2 ;
2) 1103 2 - 1103 ∙ 100 - 1103 ∙ 3.
- Trouvez le sens de l'expression :
1) 4,23 a - a 2 si a = 5,23 ;
2) x 2 y + x 3, si x = 2,51, b = -2,51 ;
3) am 5 - m 6, si = -1, et = -5;
4) -xy - x 2 si x = 2,7, b = 7,3.
- Trouvez le sens de l'expression :
1) 9,11 a + a 2 si a = -10,11 ;
2) 5x 2 + 5a 2x, si a = ; x =.
- Factoriser le polynôme :
1) 2p (x - y) + q (x - y);
2) un (x + y) - (x + y);
3) (a - 7) - b (a - 7);
4) 5 (a + 1) + (a + 1) 2 ;
5) (x + 2) 2 - x (x + 2);
6) -5m (m - 2) + 4 (m - 2) 2.
- Imaginez l'expression comme une œuvre :
1) a (x - y) + b (y - x);
2) g (b - 5) - n (5 - b);
3) 7x - (2b - 3) + 5y (3 - 2b) ;
4) (x - y) 2 - a (y - x);
5) 5 (x - 3) 2 - (3 - x) ;
6) (a + 1) (2b - 3) - (a + 3) (3 - 2b).
- Facteur:
1) 3x (b - 2) + y (b - 2);
2) (m 2 - 3) - x (m 2 - 3);
3) a (b - 9) + c (9 - b);
4) 7 (a + 2) + (a + 2) 2;
5) (s - m) 2 - 5 (m - s);
6) - (x + 2y) - 5 (x + 2y) 2.
- Trouver les racines de l'équation :
1) 4x 2 - x = 0 ;
2) 7x 2 + 28x = 0;
3) x 2 + x = 0;
4) x 2 - x = 0.
- Résous l'équation:
1) 12x 2 + x = 0;
2) 0,2 x 2 - 2x = 0 ;
3) x 2 - x = 0;
4) 1 - x 2 + - x = 0.
- Résous l'équation:
1) x (3x + 2) - 5 (3x + 2) = 0 ;
2) 2x (x - 2) - 5 (2 - x) = 0.
- Résous l'équation:
1) x (4x + 5) - 7 (4x + 5) = 0 ;
2) 7 (x - 3) - 2x (3 - x) = 0.
1) 17 3 + 17 2 est un multiple de 18 ;
2) 9 14 - 81 6 multiple de 80.
- Montrer que le sens de l'expression :
1) 39 9 - 39 8 est divisible par 38 ;
2) 49 5 - 7 8 est divisible par 48.
- Factorisez le facteur commun :
1) (5m - 10) 2 ;
2) (18a + 27b) 2.
- Trouver les racines de l'équation :
1) x (x - 3) = 7x - 21 ;
2) 2x (x - 5) = 20 - 4x.
- Résous l'équation:
1) x (x - 2) = 4x - 8 ;
2) 3x (x - 4) = 28 - 7x.
- Prouvez que le nombre :
1) 10 4 + 5 3 est divisible par 9 ;
2) 4 15 - 4 14 + 4 13 est divisible par 13 ;
3) 27 3 - 3 7 + 9 3 est divisible par 25 ;
4) 21 3 + 14 a - 7 3 est divisible par 34.
Exercices de répétition
- Simplifiez l'expression et trouvez son sens :
1) -3x 2 + 7x 3 - 4x 2 + 3x 2, si x = 0,1 ;
2) 8m + 5n - 7m + 15n si m = 7, n = -1.
- Au lieu d'astérisques, notez les coefficients du monôme pour que l'égalité se transforme en identité :
1) 2m 2 - 4mn + n 2 + (* m 2 - * m - * n 2) = 3m 2 - 9mn - 5n 2;
2) 7x 2 - 10y 2 - xy - (* x 2 - * xy + * 2) = -x 2 + 3y 2 + xy.
- La longueur du rectangle est trois fois sa largeur. Si la longueur du rectangle est réduite de 5 cm, alors sa surface diminuera de 40 cm 2. Trouvez la longueur et la largeur du rectangle.
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On sait qu'un< b < с. Могут ли одновременно выполняться неравенства |а| >| avec | et |b |< |с|?
