Noter:
Vous ne pouvez effectuer des actions que dans un seul système de numérotation, si vous disposez de différents systèmes de numérotation, traduisez d'abord tous les nombres en un seul système de numérotation
Si vous travaillez avec un système de numération dont la base est supérieure à 10 et que vous avez une lettre dans votre exemple, remplacez-la mentalement par un nombre dans le système décimal, effectuez les opérations nécessaires et reconvertissez le résultat dans le système de numération d'origine

Une addition:
Tout le monde se souvient comment à l'école primaire on nous a appris à empiler avec une colonne, catégorie avec catégorie. Si, lors de l'ajout du chiffre, un nombre supérieur à 9 était obtenu, nous en soustrayions 10, le résultat était enregistré dans la réponse et 1 était ajouté au chiffre suivant. A partir de là, une règle peut être formulée :

1. Il est plus pratique de plier "en colonne"
2. En ajoutant au niveau du bit, si le chiffre dans le chiffre> est supérieur au plus grand chiffre de l'alphabet du système de numération donné, soustrayez la base du système de numération de ce nombre.
3. Le résultat obtenu est écrit dans la catégorie souhaitée.
4. Ajouter un au chiffre suivant

Ajouter 1001001110 et 100111101 en notation binaire

Réponse : 1110001011

Ajouter F3B et 5A hexadécimal

Réponse : FE0

Soustraction: Tout le monde se souvient comment à l'école primaire on nous a appris à soustraire une colonne, une catégorie d'une catégorie. Si, lors de la soustraction du chiffre, un nombre inférieur à 0 était obtenu, nous "occupions" une unité du chiffre le plus significatif et ajoutions 10 au chiffre souhaité, soustrait celui souhaité du nouveau nombre. A partir de là, une règle peut être formulée :

1. Il est plus pratique de soustraire "en colonne"
2. Soustraction au niveau du bit si le chiffre est dans le chiffre< 0, вычитаем из старшего разряда 1, а к нужному разряду прибавляем основание системы счисления.
3. Soustraction

Soustraire 100111101 de 1001001110 en notation binaire

Réponse : D96

Plus important encore, n'oubliez pas le fait que vous n'avez à votre disposition que les chiffres de ce système de numérotation, n'oubliez pas les transitions entre les termes des chiffres.
Multiplication:

La multiplication dans d'autres systèmes numériques est exactement la même que celle que nous avions l'habitude de multiplier.

1. Il est plus pratique de multiplier par "colonne"
2. La multiplication dans n'importe quel système de nombres suit les mêmes règles qu'en décimal. Mais nous ne pouvons utiliser que l'alphabet donné par le système de numération.

Multiplier binaire 10111 par 1101

Réponse : 984E

Réponse : 984E

Division:

La division dans d'autres systèmes numériques est exactement la même que celle que nous avions l'habitude de diviser.

1. Il est plus pratique de diviser par "colonne"
2. La division dans n'importe quel système de nombres suit les mêmes règles qu'en décimal. Mais nous ne pouvons utiliser que l'alphabet donné par le système de numération.

Exemple:

Divisez 1011011 par 1101 en notation binaire

Diviser F 3 B au numéro 8 en notation hexadécimale

Plus important encore, n'oubliez pas le fait que vous n'avez à votre disposition que les chiffres de ce système de numérotation, n'oubliez pas les transitions entre les termes des chiffres.

NON POSITIF

Systèmes de numérotation non positionnels

Les systèmes de nombres non positionnels ont été historiquement les premiers à apparaître. Dans ces systèmes, la signification de chaque symbole numérique est constante et ne dépend pas de sa position. Le cas le plus simple d'un système non positionnel est celui de l'unité, pour lequel un seul symbole est utilisé pour désigner des nombres, en règle générale c'est une ligne, parfois un point, qui est toujours mis dans le nombre correspondant au nombre noté :

• 1 - |
• 2 - ||
• 3 - |||, etc.

Donc ce seul personnage compte unités, à partir duquel le nombre requis est obtenu par addition successive :

||||| = 1+1+1+1+1 = 5.

Une modification d'un système d'unités est un système avec une base, dans lequel il y a des symboles non seulement pour désigner une unité, mais aussi pour les degrés de base. Par exemple, si la base est 5, alors il y aura des symboles supplémentaires pour désigner 5, 25, 125, et ainsi de suite.

Un exemple d'un tel système de base 10 est l'ancien système égyptien, qui est apparu dans la seconde moitié du troisième millénaire avant notre ère. Ce système avait les hiéroglyphes suivants :

• pôle - unités,
• arc - dizaines,
• feuille de palmier - des centaines,
• fleur de lotus - des milliers.

Les nombres étaient obtenus par simple addition, l'ordre pouvait être quelconque. Ainsi, pour désigner, par exemple, le nombre 3815, trois fleurs de lotus, huit feuilles de palmier, un arc et cinq pôles ont été dessinés. Des systèmes plus complexes avec des signes supplémentaires - le grec ancien, le romain. Roman utilise également un élément du système positionnel - un gros chiffre devant un plus petit est ajouté, un plus petit devant un plus grand est soustrait : IV = 4, mais VI = 6, cette méthode est cependant utilisée pour désigner exclusivement les nombres 4, 9, 40, 90, 400 , 900, 4000, et leurs dérivés par addition.

Les systèmes du nouveau grec et de l'ancien russe utilisaient 27 lettres de l'alphabet comme nombres, où ils désignaient chaque nombre de 1 à 9, ainsi que des dizaines et des centaines. Cette approche a permis d'écrire des nombres de 1 à 999 sans répéter les nombres.

Dans l'ancien système russe, des cadres spéciaux autour des nombres étaient utilisés pour indiquer les grands nombres.

En tant que système de numérotation verbal, le non-positionnel est encore utilisé presque partout. Les systèmes de numérotation verbaux sont fortement liés à la langue et leurs éléments communs se rapportent principalement aux principes généraux et aux noms des grands nombres (billion et plus). Les principes généraux qui sous-tendent la numérotation verbale moderne sont préjudiciables à la formation d'une désignation par l'addition et la multiplication des significations de noms uniques.

Comment additionner en notation décimale ?

Rappelons-nous comment nous ajoutons des nombres de la manière habituelle, en décimal.

Le plus important est de comprendre les rejets. Souvenez-vous de l'alphabet de chaque SS et cela deviendra plus facile pour vous.

L'addition binaire n'est pas différente de l'addition décimale. La principale chose à retenir est que l'alphabet ne contient que deux nombres : 0 et 1. Par conséquent, lorsque nous ajoutons 1 + 1, nous obtenons 0 et nous augmentons le nombre d'1 place supplémentaire. Jetez un œil à l'exemple ci-dessus :

1. Nous commençons à plier comme nous le faisions de droite à gauche. 0 + 0 = 0, nous écrivons donc 0. Passez au bit suivant.
2. Nous ajoutons 1 + 1 et obtenons 2, mais 2 n'est pas dans le système binaire, ce qui signifie que nous écrivons 0 et ajoutons 1 au chiffre suivant.
3. Nous obtenons trois unités dans cette catégorie, nous ajoutons 1 + 1 + 1 = 3, ce chiffre ne peut pas non plus l'être. Donc 3 - 2 = 1. Et ajoutez 1 au chiffre suivant.
4. Nous obtenons à nouveau 1 + 1 = 2. Nous savons déjà que 2 ne peut pas exister, nous écrivons donc 0 et ajoutons 1 au chiffre suivant.
5. Il n'y a rien de plus à ajouter, donc dans la réponse nous obtenons : 10100.

Nous avons analysé un exemple, décidez vous-même du second :

Comme dans tout autre système de numérotation, vous devez vous souvenir de l'alphabet. Essayons d'ajouter une expression.

1. Comme d'habitude, nous commençons à plier de droite à gauche. 4 + 3 = 7.
2. 5 + 4 = 9. Neuf ne peut pas être, donc soustrayez 8 de 9, nous obtenons 1. Et ajoutez 1 de plus au chiffre suivant.
3. 3 + 7 + 1 = 11. Soustrayez 8 de 11, nous obtenons 3. Et ajoutez un au chiffre suivant.
4. 6 + 1 = 7.
5. Il n'y a rien d'autre à ajouter. Réponse : 7317.

Faites maintenant l'addition vous-même :

1. Nous réalisons des actions qui nous sont déjà familières et n'oublions pas l'alphabet. 2 + 1 = 3.
2. 5 + 9 = 14. Rappelez-vous l'alphabet : 14 = E.
3. C = 12. 12 + 8 = 20. Il n'y a pas de vingt en notation hexadécimale. Nous soustrayons donc 16 de 20 et obtenons 4. Et ajoutons un au chiffre suivant.
4. 1 + 1 = 2.
5. Il n'y a plus rien à ajouter. Réponse : 24E3.

Soustraction dans les systèmes numériques

Rappelons-nous comment nous procédons dans le système de nombres décimaux.

1. On part de gauche à droite, de la plus petite catégorie à la plus grande. 2 - 1 = 1.
2. 1 – 0 = 1.
3. 3 - 9 =? Trois est inférieur à neuf, alors empruntons un du chiffre le plus significatif. 13 - 9 = 4.
4. A partir du dernier chiffre, nous avons pris l'unité de l'action précédente, donc 4 - 1 = 3.
5. Réponse : 3411.

1. On commence comme d'habitude. 1 - 1 = 0.
2. 1 – 0 = 1.
3. Vous ne pouvez pas soustraire un de 0. Par conséquent, nous prendrons une catégorie de la plus ancienne. 2 - 1 = 1.
4. Réponse : 110.

Décidez maintenant par vous-même :

1. Rien de nouveau, l'essentiel est de se souvenir de l'alphabet. 4 - 3 = 1.
2. 5 – 0 = 5.
3. Nous ne pouvons pas immédiatement soustraire 7 de 3, pour cela, nous devons emprunter une unité à une catégorie plus élevée. 11 - 7 = 4.
4. N'oubliez pas que nous avons emprunté une unité plus tôt, 6 - 1 = 5.
5. Réponse : 5451.

Prenons l'exemple précédent et voyons quel serait le résultat en hexadécimal. Identique ou différent ?

1. 4 – 3 = 1.
2. 5 – 0 = 5.
3. Nous ne pouvons pas immédiatement soustraire 7 de 3, pour cela, nous devons emprunter une unité à une catégorie plus élevée. 19 - 7 = 12. Hexadécimal 12 = C.
4. Rappelez-vous que nous avons emprunté une unité plus tôt, 6 - 1 = 5
5. Réponse : 5S51

Exemple pour une solution indépendante :

Multiplication dans les systèmes numériques

Rappelons-nous une fois pour toutes que multiplier par un dans n'importe quel système numérique donnera toujours le même nombre.

1. Chaque chiffre est multiplié par un, comme d'habitude de droite à gauche, et on obtient le nombre 6748 ;
2. 6748 est multiplié par 8 et on obtient le nombre 53984 ;
3. On fait l'opération de multiplier 6748 par 3. On obtient le nombre 20244 ;
4. Additionnez les 3 nombres, selon les règles. Nous obtenons 2570988 ;
5. Réponse : 2570988.

Dans un système binaire, la multiplication est très facile. Nous multiplions toujours par 0 ou par un. L'essentiel est de l'ajouter soigneusement. Essayons.

1. 1101 est multiplié par un, comme d'habitude de droite à gauche, et on obtient le nombre 1101 ;
2. Nous faisons cette opération 2 fois de plus;
3. Nous ajoutons soigneusement les 3 nombres, rappelez-vous de l'alphabet, sans oublier l'échelle;
4. Réponse : 1011011.

Exemple pour une solution indépendante :

1. 5 x 4 = 20. Et 20 = 2 x 8 + 4. Nous écrivons le reste de la division en un nombre - ce sera 4, et garder 2 à l'esprit. Nous effectuons cette procédure de droite à gauche et obtenons le numéro 40234;
2. Une fois multiplié par 0, nous obtenons quatre 0 ;
3. Multiplié par 7, nous obtenons le nombre 55164 ;
4. Ajoutez maintenant les nombres et obtenez - 5556634;
5. Réponse : 5556634.

Exemple pour une solution indépendante :

Tout est comme d'habitude, l'essentiel est de se souvenir de l'alphabet. Pour plus de commodité, traduisez les nombres alphabétiques dans votre système de numérotation habituel, en multipliant, traduisez en une valeur alphabétique.

Pour plus de clarté, analysons la multiplication par 5 du nombre 20A4.

1. 5 x 4 = 20. Et 20 = 16 + 4. Nous écrivons le reste de la division en un nombre - ce sera 4, et garder 1 à l'esprit.
2. Et x 5 + 1 = 10 x 5 + 1 = 51,51 = 16 x 3 + 3. Nous écrivons le reste de la division en un nombre - ce sera 3, et garder 3 à l'esprit.
3. Multiplié par 0, on obtient 0 + 3 = 3 ;
4. 2 x 5 = 10 = A ; En conséquence, nous obtenons l'A334; Nous effectuons cette procédure avec deux autres nombres ;
5. Rappelez-vous la règle de la multiplication par 1 ;
6. Une fois multiplié par B, nous obtenons le nombre 1670C ;
7. Maintenant, nous ajoutons les nombres et obtenons - 169В974;
8. Réponse : 169В974.

Un exemple de solution indépendante.

Opérations arithmétiques dans le système de nombres binaires

Les règles pour effectuer des opérations arithmétiques sur des nombres binaires sont fixées par les tables d'addition, de soustraction et de multiplication.

La règle pour effectuer l'opération d'addition est la même pour tous les systèmes de numération : si la somme des chiffres ajoutés est supérieure ou égale à la base du système de numération, alors l'unité est transférée au chiffre suivant à gauche. En soustrayant, si nécessaire, faites un emprunt.

Les opérations arithmétiques sont effectuées de la même manière dans les systèmes de nombres octaux, hexadécimaux et autres. Il convient de garder à l'esprit que le montant du transfert au chiffre suivant lors de l'addition et d'un prêt du chiffre le plus significatif lors de la soustraction est déterminé par la valeur de la base du système de numération.

Arithmétique octale

Les nombres octaux sont représentés par huit chiffres (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), puisque la base du système de nombres octaux est 8. Toutes les opérations sont effectuées à l'aide de ces huit chiffres. Les opérations d'addition et de multiplication de nombres octaux sont effectuées à l'aide des tableaux suivants :

Tables d'addition et de multiplication octales

Opérations arithmétiques hexadécimales

Pour représenter les nombres dans le système hexadécimal, seize chiffres sont utilisés : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Dans le système hexadécimal, le nombre seize s'écrit 10. Les opérations arithmétiques dans le système hexadécimal sont effectuées comme dans le système décimal, mais lors de l'exécution d'opérations arithmétiques sur de grands nombres, il est nécessaire d'utiliser les tables d'addition et de multiplication de nombres dans le système de nombres hexadécimal.

Table d'addition hexadécimale

Table de multiplication hexadécimale

Avec l'aide de cette calculatrice en ligne, vous pouvez convertir des nombres entiers et fractionnaires d'un système numérique à un autre. Une solution détaillée avec des explications est donnée. Pour traduire, entrez le numéro d'origine, définissez la base de la base de la base du numéro de base, définissez la base de la base de la base dans laquelle vous souhaitez traduire le numéro et cliquez sur le bouton "Traduire". Pour la partie théorique et des exemples numériques, voir ci-dessous.

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Conversion de nombres entiers et fractionnaires d'un système numérique à un autre - théorie, exemples et solutions

Il existe des systèmes numériques positionnels et non positionnels. Le système de chiffres arabes que nous utilisons dans la vie de tous les jours est positionnel, mais pas le système romain. Dans les systèmes de numération positionnelle, la position d'un nombre détermine de manière unique l'amplitude du nombre. Regardons cela en utilisant le nombre décimal 6372 comme exemple. Énumérons ce nombre de droite à gauche en partant de zéro :

Alors le nombre 6372 peut être représenté comme suit :

6372 = 6000 + 300 + 70 + 2 = 6 · 10 3 + 3 · 10 2 + 7 · 10 1 + 2 · 10 0.

Le nombre 10 définit le système de numérotation (dans ce cas, c'est 10). Les valeurs de la position du nombre donné sont prises en degrés.

Considérez le nombre décimal réel 1287.923. Numérotons-le à partir de la position zéro du nombre de la virgule vers la gauche et vers la droite :

Alors le nombre 1287.923 peut être représenté comme :

1287.923 = 1000 + 200 + 80 + 7 + 0,9 + 0,02 + 0,003 = 1 · 10 3 + 2 · 10 2 + 8 · 10 1 + 7 · 10 0 + 9 · 10 -1 + 2 · 10 -2 + 3 · 10 -3.

En général, la formule peut être représentée comme suit :

C n s n + C n-1 s n-1 + ... + C 1 s 1 + D 0 s 0 + D -1 s -1 + D -2 s -2 + ... + D -k s -k

où n est un entier en position m, Д -k - nombre fractionnaire en position (-k), s- système de numérotation.

Quelques mots sur les systèmes numériques. Le nombre dans le système numérique décimal se compose de plusieurs chiffres (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), dans le système numérique octal - de l'ensemble des nombres (0,1, 2,3,4,5,6,7), dans le système de numération binaire - à partir de l'ensemble de chiffres (0,1), dans le système de numération hexadécimal - à partir de l'ensemble de nombres (0, 1,2,3,4,5,6, 7,8,9, A, B, C, D, E, F), où A, B, C, D, E, F correspondent aux nombres 10,11 ,12,13,14,15., des nombres dans différents systèmes numériques sont présentés.

Conversion de nombres d'un système numérique à un autre

Pour convertir des nombres d'un système de nombres à un autre, le moyen le plus simple est de d'abord convertir le nombre en système de nombres décimaux, puis, à partir du système de nombres décimaux, de le traduire dans le système de nombres requis.

Conversion de nombres de n'importe quel système de nombres vers le système de nombres décimaux

À l'aide de la formule (1), vous pouvez convertir des nombres de n'importe quel système numérique au système numérique décimal.

Exemple 1. Convertissez le nombre 1011101.001 de la notation binaire (SS) en SS décimal. Solution:

1 2 6 +0 2 5 + 1 · 2 4 + 1 · 2 3 + 1 · 2 2 + 0 · 2 1 + 1 2 0 + 0 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 -3 = 64 + 16 + 8 + 4 + 1 + 1/8 = 93,125

Exemple2. Convertir 1011101.001 du système de nombre octal (SS) en SS décimal. Solution:

Exemple 3 ... Convertissez le nombre AB572.CDF de la base hexadécimale en SS décimal. Solution:

Ici UNE-remplacé par 10, B- à 11 heures, C- à 12, F- par 15.

Conversion de nombres d'un système de nombres décimaux vers un autre système de nombres

Pour convertir des nombres du système de nombres décimaux vers un autre système de nombres, vous devez traduire séparément la partie entière du nombre et la partie fractionnaire du nombre.

La partie entière du nombre est transférée du SS décimal à un autre système de nombres - en divisant séquentiellement toute la partie du nombre par la base du système de nombres (pour un SS binaire - par 2, pour un SS 8-aire - par 8, pour un 16-aire - par 16, etc.) ) jusqu'à obtention d'un résidu entier, inférieur à la base CC.

Exemple 4 ... Convertissons le nombre 159 de SS décimal en SS binaire :

Comme on le voit sur la Fig. 1, le nombre 159 divisé par 2 donne le quotient 79 et le reste 1. De plus, le nombre 79 divisé par 2 donne le quotient 39 et le reste 1, etc. En conséquence, après avoir construit un nombre à partir du reste de la division (de droite à gauche), nous obtenons le nombre dans le SS binaire : 10011111 ... On peut donc écrire :

159 10 =10011111 2 .

Exemple 5 ... Convertissons le nombre 615 de SS décimal en SS octal.

Lors de la conversion d'un nombre de SS décimal en SS octal, vous devez diviser séquentiellement le nombre par 8 jusqu'à ce que vous obteniez un reste entier inférieur à 8. En conséquence, construire le nombre à partir des restes de la division (de droite à gauche), on obtient le nombre en octal SS : 1147 (voir fig. 2). On peut donc écrire :

615 10 =1147 8 .

Exemple 6 ... Convertissez le nombre 19673 du nombre décimal en hexadécimal SS.

Comme on peut le voir sur la figure 3, en divisant séquentiellement 19673 par 16, nous avons obtenu les restes 4, 12, 13, 9. Dans le système hexadécimal, le nombre 12 correspond à C, le nombre 13 à D. Par conséquent, notre nombre hexadécimal est 4CD9.

Pour convertir les fractions décimales correctes (un nombre réel avec une partie entière nulle) en base s, ce nombre doit être séquentiellement multiplié par s jusqu'à ce qu'un zéro pur soit obtenu dans la partie fractionnaire, ou nous obtenons le nombre requis de chiffres. Si, lors de la multiplication, on obtient un nombre dont la partie entière est différente de zéro, alors cette partie entière n'est pas prise en compte (elles sont ajoutées séquentiellement au résultat).

Considérons ce qui précède avec des exemples.

Exemple 7 ... Convertissez le nombre 0,214 de décimal en binaire SS.

Comme on peut le voir sur la figure 4, le nombre 0,214 est séquentiellement multiplié par 2. Si la multiplication donne un nombre différent de zéro avec une partie entière, alors la partie entière est écrite séparément (à gauche du nombre), et le nombre s'écrit avec une partie entière nulle. Si, lors de la multiplication, un nombre avec une partie entière nulle est obtenu, alors zéro est écrit à sa gauche. Le processus de multiplication se poursuit jusqu'à ce qu'un zéro pur soit obtenu dans la partie fractionnaire ou que le nombre requis de chiffres soit obtenu. En écrivant les nombres en gras (Fig. 4) de haut en bas, nous obtenons le nombre requis dans le système de nombres binaires : 0. 0011011 .

On peut donc écrire :

0.214 10 =0.0011011 2 .

Exemple 8 ... Convertissons le nombre 0,125 du système de nombres décimaux en SS binaire.

Pour convertir le nombre 0,125 de SS décimal en binaire, ce nombre est séquentiellement multiplié par 2. Dans la troisième étape, il s'est avéré 0. Par conséquent, le résultat suivant a été obtenu :

0.125 10 =0.001 2 .

Exemple 9 ... Convertissons le nombre 0.214 du nombre décimal en hexadécimal SS.

En suivant les exemples 4 et 5, on obtient les nombres 3, 6, 12, 8, 11, 4. Mais dans le SS hexadécimal, les nombres 12 et 11 correspondent aux nombres C et B. On a donc :

0,214 10 = 0,36C8B4 16.

Exemple 10 ... Conversion du nombre décimal en nombre décimal SS 0.512.

A reçu:

0.512 10 =0.406111 8 .

Exemple 11 ... Conversion du nombre 159.125 de décimal en binaire SS. Pour ce faire, nous traduisons séparément la partie entière du nombre (exemple 4) et la partie fractionnaire du nombre (exemple 8). De plus, en combinant ces résultats, nous obtenons :

159.125 10 =10011111.001 2 .

Exemple 12 ... Conversion du nombre 19673.214 du nombre décimal en hexadécimal SS. Pour ce faire, nous traduisons séparément la partie entière du nombre (exemple 6) et la partie fractionnaire du nombre (exemple 9). De plus, en combinant ces résultats, nous obtenons.