5 dans le système hexadécimal. Systèmes de nombres hexadécimaux et binaires

Le système de numération hexadécimale a un alphabet de 16 chiffres :

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, b, c, d, e, f.

Lors de l'écriture d'un nombre dans un système hexadécimal, les lettres A, B, C, D, E, F sont utilisées pour écrire les nombres désignant les nombres 10, 11, 12. 13, 14. 15, respectivement.

Conversion de nombres de l'hexadécimal en décimal

Vous pouvez convertir n'importe quel nombre hexadécimal en décimal en utilisant la formule déjà connue

Exemples.

AE07 16 = 10 16 3 + 14 16 2 + 0 16 1 + 7 16 0 = 44551 10.

100 16 =1∙16 2 +0∙16 1 +0∙16 0 =256 10 .

58 16 =5∙16 1 +8∙16 0 =.88 10 .

2A 16 = 2 16 1 + 10 16 0 = 42 10.

La conversion d'un nombre décimal en hexadécimal s'effectue de la même manière qu'en binaire.

Conversion de nombres hexadécimaux en binaires et vice versa

Vous pouvez convertir n'importe quel nombre hexadécimal en binaire comme suit. Chaque chiffre de la notation hexadécimale d'un nombre est écrit dans un nombre binaire à quatre chiffres - carnet... Après cela, les zéros à gauche peuvent être supprimés.

Inversement, vous pouvez convertir n'importe quel nombre binaire en hexadécimal de la même manière. Tous les quatre chiffres binaires, en comptant de droite à gauche, sont écrits dans un chiffre hexadécimal. Ces numéros sont également situés de droite à gauche.

Exemples.

2.101010 2 = 10 1010 2 = 2A.

3. 1011000 2 = 101 1000 2 = 58 16 .

Système de nombre octal

Le système de numération octale a un alphabet composé de 8 chiffres :

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

La conversion d'un nombre décimal en octal et vice versa s'effectue par analogie avec la conversion en binaire / à partir de binaire.

Conversion de nombres octal en binaire et vice versa

Chaque chiffre de la représentation octale d'un nombre est écrit dans un nombre binaire à trois chiffres - triade.

Exemples.

2563 8 = 010 101 110 011 2 =10101110011 2 .

1001101 2 = 001 001 101 2 = 115 8 .

Matériaux méthodiques pour la classe de laboratoire n° 1

Sujet de laboratoire : Systèmes de nombres. Mesurer les informations.

Nombre d'heures : 2.

Exemples avec solutions

Traduction dep système -aire en système 10-aire. Soit qu'il soit nécessaire de traduire un nombre dans un certain système de nombres en décimal. Pour ce faire, vous devez le représenter sous la forme

11100110 2 = 1∙2 7 + 1∙2 6 + 1∙2 5 + 0∙2 4 + 0∙2 3 + 1∙2 2 + 1∙2 1 + 0∙2 0 = 128 + 64 + 32 + 4 + 2 = 230 10 .

2401 5 = 2∙5 3 + 4∙5 2 + 0∙5 1 + 1∙5 0 = 250 + 100 + 0 + 1 = 351.

Passage du système 10-aire àp -ichny.

2.1 98 10 → X 2.

Nous divisons le nombre par 2. Ensuite, nous divisons le quotient incomplet par 2. Continuez jusqu'à ce que le quotient incomplet devienne inférieur à 2, c'est-à-dire égal à 1.

98 : 2 = 49. Le reste est 0 .

49 : 2 = 24. Le reste est 1 .

24 : 2 = 12. Reste - 0 .

12 : 2 = 6. Reste - 0 .

6 : 2 = 3. Reste - 0 .

3: 2 = 1 ... Reste - 1 .

Puisque le dernier quotient incomplet est 1, le processus est terminé. On écrit tous les restes de bas en haut, en commençant par le dernier quotient incomplet, et on obtient le nombre 1100010. Donc 98 10 = 1100010 2.

2.2 2391 10 → X 16.

Divisez le nombre par 16. Ensuite, divisez le quotient incomplet par 16. Continuez jusqu'à ce que le quotient incomplet soit inférieur à 16.

2391 : 16 = 149. Le reste est 7 .

149: 16 = 9 ... Reste - 5 .

Puisque le dernier quotient incomplet (9) est inférieur à 16, le processus est terminé. On écrit, en commençant par le dernier quotient incomplet, tous les restes de bas en haut et on obtient le nombre 957. Donc 2391 10 = 957 16.

2.3 12165 10 → X 2.

Si traduit par division dans un système binaire, alors vous obtenez un processus plutôt lourd. Vous pouvez d'abord convertir le nombre en système octal, puis remplacer les chiffres octaux de droite à gauche par des triades.

12165 10 = 27605 8 = 010 111 110 000 101 = 10111110000101.

Déterminer la base du système de numérationp .

Un garçon a écrit sur lui-même : « J'ai 24 doigts, 5 à chaque main et 12 aux pieds ». Comment se peut-il?

Solution. Il est nécessaire de déterminer la base du système de numération p... Puisque nous savons qu'il n'y a que 10 10 orteils, alors 12 p =1∙p+2 = 10 10. De là on obtient l'équation p + 2 = 10  p= 8. Donc, le garçon parlait des nombres dans le système octal. En effet, il y a 24 8 doigts au total = 2 8 + 4 = 20 10, et sur les jambes - 12 8 = 1 ∙ 8 + 2 = 10 10.

0123456789ABCDEF. En prenant le nombre 16 comme base, on obtient le système de nombres hexadécimal. Ici, nous pouvons utiliser 10 chiffres du système décimal, en ajoutant 6 chiffres supplémentaires - les lettres de l'alphabet latin (A, B, C, D, E, F): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , A, B, C, D, E, F 10 11 12 13 14 15 Un total de 16 caractères différents composent l'alphabet du système de nombres hexadécimaux. Vous pouvez écrire n'importe quel nombre comprenant tous ces signes : A37, 1B45, F302, 1A3C5... - remarque : nous utilisons des signes de 0 à F. Pour le système de nombres hexadécimal q = 16. Contenu.

Informatique 9e année

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Système de nombres hexadécimaux. Notre premier programme.

Pour écrire des programmes en assembleur, vous devez comprendre le système de nombres hexadécimaux. Il n'y a rien de compliqué là-dedans. Nous utilisons le système décimal dans notre vie. Je suis sûr que vous le savez tous, alors je vais essayer d'expliquer le système hexadécimal par analogie avec le décimal.

Ainsi, dans le système décimal, si nous ajoutons zéro à n'importe quel nombre à droite, ce nombre augmentera 10 fois. Par exemple : 1 x 10 = 10 ; 10 x 10 = 100 ; 100 x 10 = 1000, etc. Dans ce système, nous utilisons des nombres de 0 à 9, c'est-à-dire dix chiffres différents (en fait, c'est pourquoi on l'appelle décimal).

En hexadécimal, nous utilisons respectivement seize "chiffres". J'ai délibérément écrit le mot "chiffres" entre guillemets, tk. il utilise plus que des chiffres. En effet, comment est-ce? J'explique : on compte de 0 à 9 de la même manière qu'en décimal, mais alors ce sera comme ça : A, B, C, D, E, F. Le nombre F, aussi difficile soit-il compte, il sera égal à 15 en système décimal (voir tableau. 1).

Ainsi, si nous ajoutons zéro à droite à n'importe quel nombre dans le système hexadécimal, alors ce nombre augmentera de16 une fois.

Exemple 1: 1x16 = 10 ; 10 x 16 = 100 ; 100 x 16 = 1000, etc.

Avez-vous pu faire la distinction entre les nombres hexadécimaux et décimaux dans l'exemple 1 ? Et à partir de cette rangée : 10, 12, 45, 64, 12, 8, 19 ? Il peut être hexadécimal ou décimal. Afin d'éviter toute confusion, et l'ordinateur pourrait distinguer de manière unique certains nombres d'autres, il est d'usage en assembleur de mettre le caractère h ou H après un nombre hexadécimal ( H est l'abréviation de l'anglais. hexadécimal (hexadécimal). Par souci de concision, il est parfois appelé simplement Hex ) . Et après la virgule ne mettez rien. Parce que les nombres de 0 à 9 dans les deux systèmes ont la même signification, alors les nombres écrits 5 et 5h sont les mêmes.

Ce. L'exemple 1 (voir ci-dessus) serait plus correct d'écrire comme suit : 1 x 16 = 10h ; 10h x 16 = 100h ; 100h x 16 = 1000h. Ou comme ceci : 1h x 10h = 10h ; 10h x 10h = 100h ; 100h x 10h = 1000h.

À quoi sert le système hexadécimal, nous le verrons dans les prochaines versions. Pour le moment, pour notre exemple de programme, qui sera discuté ci-dessous, nous devons connaître l'existence de nombres hexadécimaux.

Alors résumons. Le système de numérotation hexadécimale se compose de 10 chiffres (de 0 à 9) et de 6 lettres de l'alphabet latin (A, B, C, D, E, F). Si nous ajoutons zéro à n'importe quel nombre dans le système hexadécimal à droite, alors ce nombre augmentera de16 une fois. Il est très important de comprendre ce sujet , puisque nous l'utiliserons tout le temps lors de l'écriture de programmes.

Maintenant, un peu sur la façon dont je vais construire des exemples en assembleur. Il n'est pas très pratique de les apporter au format HTML, donc d'abord il y aura le code du programme lui-même avec des lignes numérotées, et immédiatement après il y aura des explications et des notes.

Plus ou moins comme ça :

Explications :

Dans la ligne (1) nous faisons ceci et cela, et dans la ligne (15) nous faisons ceci.

Enorme demande : NE PAS copier les programmes de la page dans le presse-papiers, puis les coller dans le Bloc-notes (ou n'importe où ailleurs) ! Retapez-les à la main dans un éditeur de texte. Si vous avez une imprimante, sélectionnez le programme, imprimez le fragment sélectionné, puis transférez-le à l'éditeur à partir du papier. Vous devez saisir tous les exemples vous-même ! Cela accélérera la mémorisation des opérateurs.

Et plus loin. Les lettres minuscules et majuscules ne sont pas distinguées dans l'assembleur. Enregistrements du formulaire :

Ils sont perçus de la même manière par l'assembleur. Vous pouvez bien sûr forcer l'assembleur à faire la distinction entre les caractères minuscules et majuscules, mais nous ne le ferons pas pour l'instant. Pour faciliter la lecture du programme, il est préférable de taper des instructions minuscules, et les noms des sous-programmes et des étiquettes commencent par une majuscule. Mais c'est ainsi que tout le monde sera à l'aise.

Passons donc à notre premier programme :

(1) Segment CSEG

(2) org 100h

(4) Commencer :

(6) mov ah, 9

(7) mov dx, décalage Message

(8) international 21h

(10) int 20h

(11)

(12) Message db "Bonjour tout le monde ! $"

(13) La CSEG se termine

(14) fin Début

Nous avons besoin de plusieurs éditions pour expliquer tous les opérateurs dans cet exemple. Par conséquent, nous allons simplement omettre la description de certaines commandes à ce stade. Considérez simplement qu'il devrait en être ainsi. Dans un avenir très proche, nous examinerons ces opérateurs en détail. Ainsi, vous ignorez simplement les lignes avec les numéros (1), (2) et (13).

Les lignes (3), (5), (9) et (11) restent vierges. Ceci est fait pour plus de clarté. L'assembleur les omettra simplement.

Passons maintenant à l'examen du reste des opérateurs. La ligne (4) lance le code du programme. Il s'agit d'une étiquette qui pointe l'assembleur vers le début du code. La ligne (14) contient la fin Begin ( Commencer l'ing. Début; finir la fin). C'est la fin du programme. En général, au lieu d'un mot Commencer aurait pu utiliser autre chose. Par exemple, Début :. Dans ce cas, il faudrait mettre fin au programme. Fin Début (14).

Les lignes (6) (8) affichent le message Hello, world !. Ici, nous devrons brièvement parler des registres du processeur (nous examinerons ce sujet plus en détail dans la prochaine version).

Un registre de processeur est une mémoire spécialement désignée pour stocker un nombre.

Par exemple:

Si nous voulons additionner deux nombres, alors en mathématiques nous écrivons comme ceci :

A, B et C ce sont des sortes de registres (si nous parlons d'un ordinateur) dans lesquels certaines données peuvent être stockées. A = 5 peut être lu comme : Donnez à A le nombre 5 .

Pour affecter une valeur à un registre, il existe un opérateur mov en assembleur (de l'anglais move to load). La ligne (6) doit être lue comme ceci : Charger dans le registre AHnuméro 9 (en d'autres termes, nous attribuons AHnuméro 9). Ci-dessous, nous examinerons pourquoi cela est nécessaire.

A la ligne (7) nous chargeons dans le registre DX adresse de message pour la sortie (en cet exemple ce sera la ligneBonjour tout le monde ! $).

Les interruptions seront discutées en détail dans les prochaines versions. Je vais dire quelques mots ici.

Interrompre MS-DOS c'est une sorte de sous-programme (partie MS-DOS), qui est en mémoire en permanence et peut être appelé à tout moment depuis n'importe quel programme.

Considérez ce qui précède en utilisant un exemple (sélectionnez les notes en petits caractères):

Le programme pour additionner deux nombres

DémarrerProgrammes

A = 5 dans la variable A nous entrons la valeur 5

B = 8 à la variable B valeur 8

Ajout de routines d'appel

maintenant C est 13

A = 10 le même, seulement des nombres différents

B = 25

Ajout de routines d'appel

maintenant C est 35

Fin du programme

Ajout de sous-programme

C = A + B

RetourDeRoutines nous retournons à l'endroit d'où ils ont appelé

FinRoutines

Dans cet exemple, nous avons appelé le sous-programme deux fois Une addition, qui a ajouté les deux nombres qui lui sont passés dans les variables A et B ... Le résultat est placé dans la variable C. Lorsqu'un sous-programme est appelé, l'ordinateur se souvient d'où il a été appelé, puis lorsque le sous-programme est terminé, l'ordinateur retourne à l'endroit d'où il a été appelé. Ce. les sous-programmes peuvent être appelés indéfiniment de n'importe où.

Lorsque nous exécutons la ligne (8) d'un programme assembleur, nous appelons un sous-programme (appelé dans ce cas une interruption) qui imprime la chaîne à l'écran. Pour cela, nous mettons en fait les valeurs nécessaires dans des registres. La totalité travail nécessaire(sortie ligne, déplacement du curseur) est pris en charge par le sous-programme. Cette ligne peut être lue comme ceci : appelez la vingt et unième interruption ( int de l'anglais. interrompre interrompre). Veuillez noter qu'il y a une lettre après le chiffre 21 h ... Ceci, comme nous le savons déjà, est un nombre hexadécimal (33 en décimal). Bien entendu, rien ne nous empêche de remplacer la ligne int 21h à int 33. Le programme fonctionnera correctement. C'est juste qu'il est d'usage en assembleur d'indiquer le numéro d'interruption en système hexadécimal.

À la ligne (10), vous l'avez deviné, nous appelons l'interruption 20 h ... Pour appeler cette interruption, vous n'avez pas besoin de spécifier de valeurs dans les registres. Il ne fait qu'une chose : quitter le programme (sortir vers DOS). À la suite de l'exécution de l'interruption 20h, le programme retournera à l'endroit d'où il a été démarré (chargé, appelé). Par exemple, dans Norton Commander ou DOS Navigator.

La ligne (12) contient le message à afficher. Premier mot ( un message message) le nom du message. Il peut s'agir de n'importe quoi (par exemple, désordre ou ficelle, etc.). O Faites attention à la ligne (7), dans laquelle nous chargeons dans le registre DX l'adresse de notre message.

Nous pouvons créer une autre ligne, que nous appellerons Mess2. Ensuite, à partir de la ligne (9), insérez les commandes suivantes :

(10) mov dx, décalage Mess2

(13) Message db "Bonjour tout le monde ! $"

(14) Mess2 db "C'est moi ! $"

et reconstituer notre programme. J'espère que vous avez deviné ce qui va arriver

Faites attention au dernier caractère des lignes Message et Mess2 - $. Il pointe vers la fin de la ligne. Si nous le supprimons, alors 21 h l'interruption continuera à sortir jusqu'à ce qu'elle rencontre un caractère quelque part en mémoire $. Sur l'écran, nous verrons déchets .

Si vous avez un débogueur, vous pouvez voir comment notre programme fonctionnera.

Le but de ce numéro n'était pas de comprendre en détail avec chaque opérateur... C'est impossible, car vous n'avez pas encore assez de connaissances. Je pense qu'après 3-4 numéros, vous comprendrez le principe et la structure d'un programme Assembler. Peut-être que vous avez trouvé le langage d'assemblage extrêmement difficile, mais croyez-moi, c'est à première vue.

Tous ceux qui communiquent avec un ordinateur ou un autre équipement numérique sont tombés sur des enregistrements mystérieux comme 10FEF, qui semblent aux non-initiés avec une sorte de chiffre. Que se cache-t-il derrière ces symboles ? Il s'avère que ce ne sont que des chiffres. Ceux qui utilisent l'hexadécimal

Systèmes de numérotation

Chaque écolière sait ou du moins a entendu quelque part que tous les chiffres que nous utilisons habituellement forment ce nom qu'elle porte simplement parce qu'il n'y a que dix caractères différents (de 0 à 9). N'importe quel nombre dans notre système familier peut être écrit avec leur aide. Cependant, il s'avère qu'il n'est pas toujours pratique de l'utiliser. Par exemple, lors de l'échange d'informations entre appareils numériques, le moyen le plus simple est d'utiliser un système de numérotation dans lequel il n'y a que deux chiffres : "0" - pas de signal - ou "1" - il y a un signal (tension ou autre). C'est ce qu'on appelle le binaire. Cependant, afin de décrire les processus à l'intérieur de tels appareils avec son aide, il sera nécessaire d'effectuer des enregistrements trop longs et difficiles à comprendre. Par conséquent, le système de nombres hexadécimaux a été inventé.

Notion de système hexadécimal

Pourquoi alors pour appareils numériques est-ce exactement un système qui contient seize caractères différents ? Comme vous le savez, les informations dans les ordinateurs sont transmises sous forme d'octets, qui contiennent généralement 8 bits. Et l'unité de données - le mot machine - comprend 2 octets, soit 16 bits. Ainsi, à l'aide de seize symboles différents, vous pouvez décrire l'information qui est la plus petite particule de l'échange. Le système de numération hexadécimale comprend nos nombres habituels (bien sûr, de 0 à 9), ainsi que les premières lettres (A, B, C, D, E, F). C'est à l'aide de ces symboles qu'il est d'usage d'écrire n'importe quelle unité d'information. Toutes les opérations arithmétiques peuvent être effectuées avec eux. C'est-à-dire addition, soustraction, multiplication, division. Le résultat sera également un nombre hexadécimal.

Où est appliqué

Le système hexadécimal est utilisé pour écrire les codes d'erreur. Ils peuvent survenir lors du fonctionnement de divers produits logiciels... Par exemple, voici comment les erreurs sont codées système opérateur... Chaque numéro est standard. Vous pouvez découvrir quel type d'erreur s'est produit pendant le travail en le déchiffrant à l'aide des instructions. De tels symboles sont également utilisés lors de l'écriture de programmes dans des langages de bas niveau, tels que l'assembleur. Le système de nombres hexadécimaux est apprécié des programmeurs également parce que ses composants peuvent être très facilement traduits en binaire, qui sont "natifs" pour toutes les technologies numériques. À l'aide de tels symboles, des schémas de couleurs sont également décrits. De plus, absolument tous les fichiers sur l'ordinateur (textes et graphiques, et même de la musique ou de la vidéo) sont présentés après la diffusion sous la forme d'une séquence. La visualisation de l'original est plus pratique uniquement sous la forme de caractères hexadécimaux.

Bien sûr, n'importe quel nombre peut être écrit en différents systèmes compte. C'est décimal, binaire et hexadécimal. Pour traduire un mot de l'un d'eux à un autre, vous devez utiliser un service tel qu'un traducteur de système numérique, ou le faire vous-même en utilisant un certain algorithme.

Pour représenter des nombres dans un microprocesseur, il est utilisé système de numération binaire.
De plus, tout signal numérique peut avoir deux états stables : " haut niveau"Et" bas niveau ". Dans le système binaire, deux nombres sont utilisés pour représenter n'importe quel nombre, respectivement : 0 et 1. Un nombre arbitraire x = a n a n-1 ..a 1 a 0, a -1 a -2… a -m sera écrit en binaire comme

x = un 2 n + un n-1 2 n-1 +… + un 1 2 1 + un 0 2 0 + un -1 2 -1 + un -2 2 -2 +… + un -m 2 -m

où un je- chiffres binaires (0 ou 1).

Système de nombre octal

Dans le système octal, les chiffres de base sont les chiffres de 0 à 7. Les 8 unités les moins significatives sont combinées dans la plus significative.

Système de nombres hexadécimaux

En notation hexadécimale, les chiffres de base sont des chiffres de 0 à 15 inclus. Pour désigner les chiffres de base plus de 9 dans un caractère, en plus des chiffres arabes 0 ... 9, les lettres de l'alphabet latin sont utilisées dans le système de numération hexadécimal :

10 10 = A 16 12 10 = C 16 14 10 = E 16
11 10 = B 16 13 10 = D 16 15 10 = F 16.

Par exemple, le nombre 175 10 en notation hexadécimale s'écrira AF 16. Vraiment,

10 16 1 + 15 16 0 = 160 + 15 = 175

Le tableau contient des nombres de 0 à 16 dans les systèmes de notation décimale, binaire, octale et hexadécimale.

Conversions binaire en octal et binaire en hexadécimal

Le système de nombres binaires est pratique pour effectuer des opérations arithmétiques avec le matériel du microprocesseur, mais il est peu pratique pour la perception humaine, car il nécessite un grand nombre de bits. Par conséquent, en informatique, en plus du système de nombres binaires, les systèmes de nombres octaux et hexadécimaux sont largement utilisés pour une représentation plus compacte des nombres.

Le système de numération octale à trois chiffres implémente toutes les combinaisons possibles de chiffres octaux dans le système de numération binaire : de 0 (000) à 7 (111). Pour convertir un nombre binaire en octal, vous devez combiner les chiffres binaires en groupes de 3 chiffres (triades) dans deux directions, à partir du séparateur décimal. Si nécessaire, ajoutez des zéros non significatifs à gauche du numéro d'origine. Si le nombre contient une partie fractionnaire, alors à sa droite, vous pouvez également ajouter des zéros insignifiants jusqu'à ce que toutes les triades soient remplies. Ensuite, chaque triade est remplacée par un chiffre octal.

Exemple : Convertissez 1101110.01 2 en octal.

Nous combinons les chiffres binaires en triades de droite à gauche. On a

001 101 110,010 2 = 156,2 8 .

Pour convertir un nombre octal en binaire, vous devez écrire chaque chiffre octal en code binaire :

156,2 8 = 001 101 110,010 2 .

Le système de nombres hexadécimaux à quatre chiffres implémente toutes les combinaisons possibles de chiffres hexadécimaux en notation binaire : de 0 (0000) à F (1111). Pour convertir un nombre binaire en hexadécimal, vous devez combiner les chiffres binaires en groupes de 4 chiffres (tétrades) dans deux directions, à partir du séparateur décimal. Si nécessaire, ajoutez des zéros non significatifs à gauche du numéro d'origine. Si le nombre contient une partie fractionnaire, alors à sa droite, vous devez également ajouter des zéros insignifiants jusqu'à ce que tous les cahiers soient remplis. Ensuite, chaque bloc-notes est remplacé par un chiffre hexadécimal.

Exemple : convertissez 1101110.11 2 en notation hexadécimale.

Nous combinons des nombres binaires en tétrades de droite à gauche. On a

0110 1110.1100 2 = 6E, C 16.

Pour convertir un nombre hexadécimal en binaire, vous devez écrire chaque chiffre hexadécimal en code binaire.