(Maqolaning oxiridagi 06/04/2017 yildagi qo'shimcha bo'limga e'tibor bering.)

Hisob va nazorat! Mamlakatimizda sotsializm va kommunizm qurilishi davridagi bu shiorni 40 yoshdan oshganlar yaxshi eslashlari kerak.

Lekin buxgalteriya hisobi yaxshi yo‘lga qo‘yilmasa, jamiyatning har qanday ijtimoiy-iqtisodiy shakllanishida mamlakat, hudud, korxona yoki xo‘jalikning samarali faoliyat yuritishi mumkin emas! Faoliyat va rivojlanish uchun prognoz va rejalarni tuzish uchun dastlabki ma'lumotlar talab qilinadi. Ularni qayerdan olsam bo'ladi? Faqat bitta ishonchli manba hisoblanadi sizniki oldingi davrlarning statistik yozuvlari.

Mening tushunchamga ko‘ra, har bir aqli raso shaxs o‘z faoliyati natijalarini hisobga olishi, axborot to‘plash va qayd etish, ma’lumotlarni qayta ishlash va tahlil qilish, tahlil natijalarini kelajakda to‘g‘ri qaror qabul qilish uchun qo‘llashi kerak. Bu insonning hayotiy tajribasini to'plash va undan oqilona foydalanishdan boshqa narsa emas. Agar siz muhim ma'lumotlarni qayd qilmasangiz, ma'lum vaqt o'tgach, siz ularni unutasiz va bu muammolar bilan yana shug'ullanishni boshlaganingizda, siz buni birinchi marta qilganingizda yana bir xil xatolarga yo'l qo'yasiz.

"Esimda, 5 yil oldin biz oyiga 1000 donagacha shunday mahsulotlar ishlab chiqargan bo'lsak, hozir esa 700 tasini zo'rg'a yig'amiz!" Biz statistikani ochamiz va 5 yil oldin ular hatto 500 dona ishlab chiqarmaganligini ko'ramiz ...

“Mashinangizning bir kilometri qancha turadi, hisobga olgan holda hamma xarajatlar? Statistikani ochamiz - 6 rubl / km. Ishga borish - 107 rubl. Taksida (180 rubl) bir yarim barobardan ko'proq arzonroq. Va taksida yurish arzonroq bo'lgan paytlar ham bo'lgan...

"50 m balandlikdagi burchak aloqa minorasining po'lat konstruksiyalarini yasash uchun qancha vaqt ketadi?" Biz statistikani ochamiz - va 5 daqiqada javob tayyor ...

"Kvartiradagi xonani ta'mirlash qancha turadi?" Biz eski yozuvlarni yig'amiz, o'tgan yillardagi inflyatsiyaga tuzatish kiritamiz, oxirgi marta bozor narxidan 10% arzonroq materiallarni sotib olganimizni hisobga olamiz va biz taxminiy narxni allaqachon bilamiz ...

Kasbiy faoliyatingizni qayd qilib, siz har doim xo'jayiningizning savoliga javob berishga tayyor bo'lasiz: "Qachon!!!???" Xo'jalik hisobini yuritish orqali kelajakda katta xaridlar, ta'tillar va boshqa xarajatlar uchun xarajatlarni rejalashtirish, qo'shimcha daromad olish yoki bugungi kunda keraksiz xarajatlarni kamaytirish uchun tegishli choralarni ko'rish osonroq.

Ushbu maqolada men to'plangan statistik ma'lumotlarni kelajakdagi davrlarni bashorat qilishda foydalanish uchun Excelda qanday qayta ishlash mumkinligini ko'rsatish uchun oddiy misoldan foydalanaman.

Excelda statistik ma'lumotlarni tahliliy funksiya bilan yaqinlashtirish.

Ishlab chiqarish maydonchasi lavha va profil metall buyumlaridan qurilish metall konstruksiyalarini ishlab chiqaradi. Sayt barqaror ishlaydi, buyurtmalar bir xil, ishchilar soni biroz o'zgarib turadi. O'tgan 12 oy davomida mahsulot ishlab chiqarish va guruhlar bo'yicha ushbu davrlarda qayta ishlangan prokat miqdori bo'yicha ma'lumotlar mavjud: choyshablar, I-nurlar, kanallar, burchaklar, dumaloq quvurlar, to'rtburchaklar profillar, dumaloq mahsulotlar. Dastlabki ma'lumotlarning dastlabki tahlilidan so'ng, metall konstruktsiyalarning oylik umumiy ishlab chiqarilishi buyurtmalardagi burchaklar soniga sezilarli darajada bog'liq degan taxmin paydo bo'ldi. Keling, bu taxminni tekshirib ko'ramiz.

Avvalo, yaqinlashish haqida bir necha so'z. Biz qonunni qidiramiz - analitik funktsiya, ya'ni metall konstruksiyalarning umumiy chiqishining tugallangan buyurtmalardagi burchakli po'lat miqdoriga bog'liqligini boshqalarga qaraganda yaxshiroq tavsiflovchi tenglama bilan aniqlangan funktsiya. Bu taxminiy ko'rsatkich bo'lib, topilgan tenglama jadval ko'rinishida berilgan dastlabki funksiya uchun yaqinlashuvchi funktsiya deb ataladi.

1. Excelni yoqing va varaqqa statistik ma'lumotlar bilan jadval qo'ying.

2. Keyinchalik, biz tarqalish sxemasini quramiz va formatlaymiz, unda X o'qi bo'ylab biz argumentning qiymatlarini - tonnada qayta ishlangan burchaklar sonini o'rnatamiz. Y o'qi bo'ylab biz asl funktsiyaning qiymatlarini chizamiz - jadvalda ko'rsatilgan oyiga metall konstruktsiyalarning umumiy ishlab chiqarishi.

3. Biz sichqonchani diagrammaning istalgan nuqtasiga "ishora qilamiz" va kontekst menyusini ochish uchun sichqonchaning o'ng tugmachasini bosing (mening yaxshi do'stlarimdan biri aytganidek - notanish dasturda ishlayotganingizda, nima qilishni bilmasangiz, sichqonchaning o'ng tugmachasini tez-tez bosing...). Ochiladigan menyuda "Trend chizig'ini qo'shish ..." -ni tanlang.

4. Ko'rsatilgan "Trend chizig'i" oynasida "Type" yorlig'ida "Linear" ni tanlang.

6. Grafikda to'g'ri chiziq paydo bo'ldi, bu bizning jadvalga bog'liqligimizga yaqinlashadi.

Chiziqning o'ziga qo'shimcha ravishda, biz ushbu chiziqning tenglamasini ko'ramiz va eng muhimi, biz R 2 parametrining qiymatini - yaqinlashishning ishonchliligi qiymatini ko'ramiz! Uning qiymati 1 ga qanchalik yaqin bo'lsa, tanlangan funksiya jadval ma'lumotlariga shunchalik aniqroq yaqinlashadi!

7. Chiziqli tendentsiya chizig'ini qurganimiz kabi kuch, logarifmik, eksponensial va ko'p nomli yondashuvlardan foydalangan holda trend chiziqlarini quramiz.

Tanlangan barcha funktsiyalarning ikkinchi darajali polinomi bizning ma'lumotlarimizga yaqinlashadi, u maksimal ishonchlilik koeffitsienti R 2 ga ega.

Biroq, men sizni ogohlantirmoqchiman! Agar siz yuqori darajali polinomlarni olsangiz, ehtimol siz yanada yaxshi natijalarga erishasiz, ammo egri chiziqlar murakkab ko'rinadi .... Bu erda biz jismoniy ma'noga ega bo'lgan funktsiyani qidirayotganimizni tushunish muhimdir. Bu nimani anglatadi? Bu shuni anglatadiki, bizga nafaqat X qiymatlarining ko'rib chiqilgan diapazonida, balki undan tashqarida ham adekvat natijalarni beradigan yaqinlashuvchi funktsiya kerak, ya'ni u quyidagi savolga javob beradi: "Agar metall konstruktsiyalar soni bo'lsa, metall konstruktsiyalarning chiqishi qanday bo'ladi. oyiga qayta ishlangan burchaklar 45 dan kam va 168 tonnadan ortiq! Shuning uchun men yuqori darajali polinomlar bilan mashg'ul bo'lishni tavsiya etmayman va ehtiyotkorlik bilan parabolani (ikkinchi darajali polinom) tanlang!

Shunday qilib, biz nafaqat X = 45 ... 168 qiymatlari oralig'ida jadval ma'lumotlarini yaxshi interpolyatsiya qiladigan, balki ushbu diapazondan tashqarida adekvat ekstrapolyatsiya qilishga imkon beradigan funktsiyani tanlashimiz kerak. Men bu holda logarifmik funktsiyani tanlayman, garchi siz eng oddiy sifatida chiziqlini tanlashingiz mumkin. Ko'rib chiqilayotgan misolda, Excelda chiziqli yaqinlashishni tanlashda xatolar logarifmikni tanlashga qaraganda kattaroq bo'ladi, lekin unchalik emas.

8. Biz logarifmik funktsiyadan tashqari barcha trend chiziqlarini diagramma maydonidan olib tashlaymiz. Buni amalga oshirish uchun keraksiz satrlarni o'ng tugmasini bosing va ochiladigan kontekst menyusida "O'chirish" ni tanlang.

9. Nihoyat, jadval ma'lumotlar nuqtalariga xato qatorlarini qo'shamiz. Buni amalga oshirish uchun diagrammaning istalgan nuqtasini sichqonchaning o'ng tugmasi bilan bosing va kontekst menyusida "Ma'lumotlar seriyasining formati ..." ni tanlang va quyidagi rasmda ko'rsatilgandek "Y-xatolar" yorlig'ida ma'lumotlarni sozlang.

10. Keyin biz xato diapazonlarining istalgan satrini sichqonchaning o'ng tugmasi bilan bosing, kontekst menyusida va "Ko'rish" yorlig'idagi "Xatolar satri formati" oynasida "Xatolar satri formati ..." ni tanlang, rang va qalinlikni sozlang. chiziqlardan.

Boshqa har qanday diagramma ob'ektlari xuddi shu tarzda formatlanadi.Excel!

Diagrammaning yakuniy natijasi quyidagi skrinshotda ko'rsatilgan.

Natijalar.

Oldingi barcha harakatlarning natijasi y=-172.01*ln (x)+1188.2 ga yaqinlashtiruvchi funksiya uchun hosil boʻlgan formula boʻldi. Uni bilish va oylik ishlar to'plamidagi burchaklar soni, yuqori ehtimollik darajasi bilan (± 4% - xato chiziqlariga qarang) oy uchun metall konstruktsiyalarning umumiy ishlab chiqarishini taxmin qilish mumkin! Misol uchun, agar oyning rejasi 140 tonna burchak bo'lsa, unda boshqa barcha narsalar teng bo'lganda, umumiy ishlab chiqarish 338 ± 14 tonnani tashkil qiladi.

Taxminan ishonchliligini oshirish uchun juda ko'p statistik ma'lumotlar bo'lishi kerak. O'n ikki juft qiymat etarli emas.

Amaliyotdan shuni aytamanki, ishonchlilik koeffitsienti R 2 >0,87 bo'lgan yaqinlashuvchi funktsiyani topishni yaxshi natija deb hisoblash kerak. Ajoyib natija R 2 >0,94 bo'ladi.

Amalda, eng muhim hal qiluvchi omilni aniqlash qiyin bo'lishi mumkin (bizning misolimizda, bir oy ichida qayta ishlangan burchaklarning massasi), lekin agar siz harakat qilsangiz, uni har doim har bir aniq vazifada topishingiz mumkin! Albatta, bir oy davomida jami ishlab chiqarish haqiqatan ham yuzlab omillarga bog'liq bo'lib, ular standart ishlab chiqaruvchilar va boshqa mutaxassislardan katta mehnat xarajatlarini talab qiladi. Ammo natija hali ham taxminiy bo'ladi! Matematik modellashtirish ancha arzon bo'lganda, xarajatlarni ko'tarishga arziydimi?

Ushbu maqolada men statistik ma'lumotlarni yig'ish, qayta ishlash va amaliy foydalanish deb ataladigan aysbergning faqat uchiga tegdim. Muvaffaqiyatga erishdimmi yoki yo'qmi, men sizning ushbu mavzuga qiziqishingizni uyg'otaman, qidiruv tizimlarida maqolaning sharhlari va reytingidan o'rganishga umid qilaman.

Bir o'zgaruvchining funktsiyasini yaqinlashtirish masalasi hayotning turli sohalarida keng amaliy qo'llanilishiga ega. Ammo funktsiyani yaqinlashtirish masalasini hal qilish ancha kengroq qo'llaniladi bir nechta mustaqil o'zgaruvchilar ... Bu va boshqalar haqida keyingi blog maqolalarida o'qing.

Obuna boʻling Har bir maqolaning oxirida joylashgan oynada yoki sahifaning yuqori qismidagi oynada maqolalar e'lonlariga.

Esdan chiqarma tasdiqlang havolani bosish orqali obuna bo'ling ko'rsatilgan pochta orqali sizga keladigan xatda (papkaga kelishi mumkin « Spam » )!!!

Men sizning sharhlaringizni qiziqish bilan o'qiyman, aziz o'quvchilar! Yozing!

P.S. (04.06.2017)

Jadval ma'lumotlarini oddiy tenglama bilan juda aniq, chiroyli almashtirish.

Olingan taxminiy aniqlik sizni qoniqtirmayapti (R 2<0,95) или вид и набор функций, предлагаемые MS Excel?

Taxminlovchi yuqori darajali ko‘phadning ifoda o‘lchamlari va chizig‘ining shakli ko‘zni quvontirmaydimi?

Jadval ma'lumotlaringizni moslashtirishning aniqroq va ixcham natijasi va bitta o'zgaruvchining funksiyasi bo'yicha yuqori aniqlikdagi yaqinlashish masalalarini hal qilishning oddiy texnikasini o'rganish uchun " " sahifasiga qarang.

Taklif etilgan harakatlar algoritmidan foydalanganda, eng yuqori taxminiy aniqlikni ta'minlaydigan juda ixcham funksiya topildi: R 2 =0,9963!!!

Chiziqli bo'lmagan funksiyani yaqinlashtirish

x 0 /12 /6 /4 /3 5/12 /2

y 0,5 0,483 0,433 0,354 0,25 0,129 0

Funktsiyani bo'lish oralig'i teng bo'lganligi sababli, biz taxmin qilinayotgan funktsiyaning tegishli bo'limlarining quyidagi qiyalik koeffitsientlarini hisoblaymiz:

1. Taxminlovchi funksiyaning segmentlarini shakllantirish uchun bloklarni qurish

Vaqt funksiyasining shakllanishi

O'zgartirish oralig'i:

Tsiklik qayta ishga tushirish vaqti: T = 1s

Endi funksiyani modellashtiramiz:

Taxminlash

3.1-rasm - Tenglamani yechish sxemasi

3.2-rasm - Nochiziqli funksiya hosil bo'lishining blok-sxemasi

Shunday qilib, tenglamaning chap tomoni avtomatik ravishda hosil bo'ladi. Bunda shartli ravishda eng yuqori hosila x// ma'lum deb hisoblanadi, chunki tenglamaning o'ng tomonining a'zolari ma'lum va Y1 kirishlariga ulanishi mumkin (3.1-rasm). Operatsion kuchaytirgich U3 +x signal inverteri vazifasini bajaradi. X// ni taqlid qilish uchun kontaktlarning zanglashiga olib kirishlariga (3.2) tenglamaning o'ng tomonini taqlid qiluvchi signallarni qo'llash kerak bo'lgan yana bitta qo'shimcha kuchaytirgichni kiritish kerak.

Barcha o'zgaruvchilarning shkalasi mutlaq qiymat ortidagi mashina o'zgaruvchisining maksimal qiymati 10 V ekanligini hisobga olgan holda hisoblanadi:

Mx = 10 / xmax; Mx/ = 10 / x/ maks; Mx // = 10 / x //max;

Mening = 10 / ymax. (3.3)

Vaqt shkalasi Mt = T / tmax = 1, chunki muammoni simulyatsiya qilish real vaqt rejimida amalga oshiriladi.

Transmissiya koeffitsientlari integratsiya kuchaytirgichlarining har bir kirishi uchun hisoblanadi.

Kuchaytirgich U1 uchun uzatish koeffitsientlari formulalar yordamida topiladi:

K11 = Mx/ b / (MyMt); K12 = Mx/ a2 / (MxMt);

K13 = Mx/ a1 / (MxMt). (3.4)

Kuchaytirgich U2 uchun:

K21 = Mx/ / (Mx/ Mt), (3,5)

va kuchaytirgich U3 uchun:

K31 = 1. (3,6)

Dastlabki shartlarning kuchlanishlari formulalar yordamida hisoblanadi:

ux/ (0) = Mx/ x/ (0) (-1); ux(0)= Mxx(0) (+1). (3.7)

(3.2) tenglamaning o'ng tomoni chiziqli yaqinlashish yo'li bilan berilgan chiziqli bo'lmagan funksiya bilan ifodalanadi. Bunday holda, taxminiy xatoning belgilangan qiymatdan oshmasligini tekshirish kerak. Chiziqli bo'lmagan funksiya hosil bo'lishining blok diagrammasi 3.2-rasmda keltirilgan.

Elektr sxemasining tavsifi

Vaqt funksiyasini (F) hosil qilish bloki bir (t hosil qilish uchun) yoki ikkita ketma-ket ulangan (t2 hosil qilish uchun) nol boshlang'ich shartli kuchaytirgichlarni integrallash ko'rinishida amalga oshiriladi.

Bunday holda, birinchi integratorning kirishiga U signali qo'llanilganda, uning chiqishida biz quyidagilarni olamiz:

u1(t)= - K11 = - K11Et. (3.8)

K11E=1 qo‘ysak, u1(t)= t bo‘ladi.

Ikkinchi integratorning chiqishida biz quyidagilarni olamiz:

u2(t)= K21 = K11K21Et2 / 2 (3,9)

K11K21E/2 = 1 ni o'rnatib, bizda u2(t)= t2 mavjud.

Taxminlovchi funktsiyaning segmentlarini shakllantirish uchun bloklar chiziqli bo'lmagan funktsiyalarning diod bloklari (DBNF) shaklida amalga oshiriladi, ular uchun kirish qiymati t yoki t2 vaqt funksiyasi hisoblanadi. DBNF ni hisoblash va qurish tartibi keltirilgan.

Taxminlovchi funktsiya segmentlarining qo'shimchasi (SAD) differentsial yakuniy kuchaytirgich shaklida amalga oshiriladi.

Modellashtirish sxemasining integratorlari uchun dastlabki shartlar o'zgaruvchan tuzilishga ega bo'lgan tugun yordamida kiritiladi (3.3-rasm). Ushbu sxema ikki rejimda ishlashi mumkin:

a) integratsiya - 1-holatda K kaliti bilan. Bu holda sxemaning dastlabki signali ideal integrator tenglamasi bilan etarli aniqlik bilan tavsiflanadi:

u1(t)= - (1 / RC) . (3.10)

Ushbu rejim vazifani modellashtirishda ishlatiladi. Integratorning R va C parametrlarini tanlashning to'g'riligini tekshirish uchun integratorning boshlang'ich kuchlanish qiymatini vaqt funksiyasi va foydali integratsiya vaqti ruxsat etilgan xatolik doirasida tekshiring?Uperm.

Dastlabki integrator kuchlanishining kattaligi

U(t)= - KYE (1 - e - T / [(Ky+1)RC) (3.11)

simulyatsiya paytida, kirish signalini E ni integratsiyalashganda T qayta aloqa zanjirisiz Ky daromadli operatsion kuchaytirgich yordamida mashina o'zgaruvchisining qiymatidan (10 V) oshmasligi kerak.

Integratsiya vaqti

Ti = 2RC(Ku + 1)?Uadd (3.12)

tanlangan sxema parametrlari bilan simulyatsiya vaqti T dan kam bo'lmasligi kerak.

b) dastlabki shartlarni o'rnatish K tugmachasini 2-holatga o'tkazishda amalga oshiriladi. Ushbu rejim modellashtirish sxemasini yechim jarayoniga tayyorlashda qo'llaniladi. Bunday holda, kontaktlarning zanglashiga olib keladigan asl signali tenglama bilan tavsiflanadi:

u0(t)= - (R2 /R1) E (3.13)

Bu erda u0(t) - boshlang'ich shartlarning qiymati.

Dastlabki shartlarni shakllantirish vaqtini qisqartirish va ishonchli ishlashni ta'minlash uchun sxema parametrlari shartni qondirishi kerak: R1C1 = R2C.

To'liq hisoblash sxemasini tuzing. Bunday holda siz 3.1-kichik bo'limda keltirilgan belgilardan foydalanishingiz kerak.

Kirish va manba ma'lumotlarining bit chuqurligidan foydalanib, B1 va B2 bloklarining sxemalarini tuzing va ularni RS blokiga ulang.

Turli xil prognozlash usullari orasida yaqinlashuvni e'tiborsiz qoldirib bo'lmaydi. Uning yordami bilan siz taxminiy hisob-kitoblarni amalga oshirishingiz va dastlabki ob'ektlarni oddiyroq narsalar bilan almashtirish orqali rejalashtirilgan ko'rsatkichlarni hisoblashingiz mumkin. Excelda bu usulni bashorat qilish va tahlil qilish uchun ham foydalanish mumkin. Keling, ushbu usulni o'rnatilgan vositalar yordamida ko'rsatilgan dasturda qanday qo'llash mumkinligini ko'rib chiqaylik.

Ushbu usulning nomi lotincha proxima - "eng yaqin" so'zidan kelib chiqqan. Bu ma'lum ko'rsatkichlarni soddalashtirish va tekislash, ularni trendga birlashtirish orqali yaqinlashish, ya'ni uning asosi. Ammo bu usuldan nafaqat prognozlash, balki mavjud natijalarni o'rganish uchun ham foydalanish mumkin. Axir, yaqinlashtirish, mohiyatan, dastlabki ma'lumotlarni soddalashtirishdir va soddalashtirilgan versiyani o'rganish osonroq.

Excelda tekislash amalga oshiriladigan asosiy vosita trend chizig'ini qurishdir. Xulosa shuki, mavjud ko'rsatkichlar asosida kelajakdagi davrlar uchun funktsiya grafigi to'ldiriladi. Trend chizig'ining asosiy maqsadi, siz taxmin qilganingizdek, prognoz qilish yoki umumiy tendentsiyani aniqlashdir.

Ammo uni besh turdagi taxminlardan biri yordamida qurish mumkin:

• Chiziqli;
• eksponensial;
• Logarifmik;
• polinom;
• Kuchli.

Keling, har bir variantni alohida ko'rib chiqaylik.

1-usul: chiziqli tekislash

Avvalo, yaqinlashishning eng oddiy versiyasini, ya'ni chiziqli funktsiyadan foydalanishni ko'rib chiqaylik. Biz bu haqda batafsilroq to'xtalib o'tamiz, chunki biz boshqa usullarga xos bo'lgan umumiy fikrlarni, ya'ni jadvalni tuzish va keyingi variantlarni ko'rib chiqishda to'xtalmaymiz.

Avvalo, biz grafikni tuzamiz, uning asosida tekislash jarayonini amalga oshiramiz. Grafikni tuzish uchun korxona tomonidan ishlab chiqarilgan mahsulot birligiga oylik tannarxini va ma'lum bir davrda tegishli foydani ko'rsatadigan jadvalni olaylik. Biz tuzadigan grafik funktsiya foydaning o'sishining ishlab chiqarish xarajatlarining pasayishiga bog'liqligini ko'rsatadi.

Bu holda ishlatiladigan tekislash quyidagi formula bilan tavsiflanadi:

Bizning maxsus holatimizda formula quyidagi shaklni oladi:

y=-0,1156x+72,255

Bizning taxminiy ishonchlilik qiymatimiz teng 0,9418 , bu juda maqbul natija bo'lib, tekislashni ishonchli deb tavsiflaydi.

2-usul: eksponensial yaqinlashish

Endi Excelda yaqinlashuvning eksponensial turini ko'rib chiqamiz.

Yumshatish funktsiyasining umumiy ko'rinishi quyidagicha:

Qayerda e natural logarifmning asosi hisoblanadi.

Bizning alohida holatimizda formula quyidagi shaklni oldi:

y=6282,7*e^(-0,012*x)

3-usul: Logarifmik tekislash

Endi navbat logarifmik yaqinlashish usulini ko'rib chiqishdir.

Umuman olganda, silliqlash formulasi quyidagicha ko'rinadi:

Qayerda ln natural logarifmning qiymati. Shuning uchun usulning nomi.

Bizning holatlarimizda formula quyidagi shaklni oladi:

y=-62,81ln(x)+404,96

4-usul: Polinomli tekislash

Endi polinomni tekislash usulini ko'rib chiqish vaqti keldi.

Ushbu turdagi tekislashni tavsiflovchi formula quyidagi shaklni oladi:

y=8E-08x^6-0,0003x^5+0,3725x^4-269,33x^3+109525x^2-2E+07x+2E+09

5-usul: quvvatni tekislash

Va nihoyat, keling, Excelda quvvatni yaqinlashtirish usulini ko'rib chiqaylik.

Ushbu usul funktsiya ma'lumotlarining intensiv o'zgarishi holatlarida samarali qo'llaniladi. Shuni ta'kidlash kerakki, ushbu parametr faqat funktsiya va argument salbiy yoki nol qiymatlarni qabul qilmasa qo'llaniladi.

Ushbu usulni tavsiflovchi umumiy formula quyidagicha:

Bizning maxsus holatimizda u quyidagicha ko'rinadi:

y = 6E+18x^(-6,512)

Ko'rib turganingizdek, biz misol sifatida ishlatgan aniq ma'lumotlardan foydalanganda, eng yuqori ishonchlilik darajasi polinomni oltinchi darajaga yaqinlashtirish usuli bilan ko'rsatilgan ( 0,9844 ), chiziqli usul eng past ishonchlilik darajasiga ega ( 0,9418 ). Ammo bu boshqa misollardan foydalanganda xuddi shunday tendentsiya sodir bo'ladi degani emas. Yo'q, yuqoridagi usullarning samaradorlik darajasi tendentsiya chizig'i quriladigan funktsiyaning o'ziga xos turiga qarab sezilarli darajada farq qilishi mumkin. Shuning uchun, agar tanlangan usul ushbu funktsiya uchun eng samarali bo'lsa, bu boshqa vaziyatda ham optimal bo'lishini anglatmaydi.

Agar siz yuqoridagi tavsiyalarga asoslanib, sizning holatingizga qaysi turdagi yaqinlashtirish mos kelishini darhol aniqlay olmasangiz, barcha usullarni sinab ko'rish mantiqan to'g'ri keladi. Trend chizig'ini qurib, uning ishonch darajasini ko'rganingizdan so'ng, siz eng yaxshi variantni tanlashingiz mumkin.

Muammolarni hal qilishning raqamli usullari

Radiofizika va elektronika

(Qo'llanma)

Voronej 2009 yil

Darslik fizika elektronika kafedrasida tayyorlangan

Voronej davlat universiteti fakulteti.

Elektron sxemalarni avtomatlashtirilgan tahlil qilish bilan bog'liq muammolarni hal qilish usullari ko'rib chiqiladi. Grafiklar nazariyasining asosiy tushunchalari ko'rsatilgan. Kirxgof qonunlarining matritsa-topologik formulasi berilgan. Eng mashhur matritsa-topologik usullar tavsiflangan: tugun potentsiallari usuli, aylanma oqimlar usuli, diskret modellar usuli, gibrid usul, o'zgaruvchan holatlar usuli.

1. Nochiziqli xarakteristikalar yaqinlashishi. Interpolyatsiya. 6

1.1. Nyuton va Lagranj polinomlari 6

1.2. Spline interpolyatsiyasi 8

1.3. Eng kichik kvadratlar 9

2. Algebraik tenglamalar sistemalari 28

2.1. Chiziqli tenglamalar sistemalari. Gauss usuli. 28

2.2. Siyrak tenglamalar tizimlari. LU faktorizatsiyasi. 36

2.3. Chiziqsiz tenglamalarni yechish 37

2.4. Nochiziqli tenglamalar sistemalarini yechish 40

2.5. Differensial tenglamalar. 44

2. Ekstremumni qidirish usullari. Optimallashtirish. 28

2.1. Ekstremal qidiruv usullari. 36

2.2. Passiv qidiruv 28

2.3. Ketma-ket qidiruv 36

2.4. Ko'p o'lchovli optimallashtirish 37

Adabiyotlar 47

Nochiziqli xarakteristikalar yaqinlashishi. Interpolatsiya.

1.1. Nyuton va Lagranj polinomlari.

Ko'pgina masalalarni hal qilishda to'liq bo'lmagan ma'lumotlar yoki shakli juda murakkab bo'lgan f funktsiyasini F funktsiyasini oddiyroq va qulayroq, u yoki bu ma'noda f ga yaqin, taxminiy ma'nosini beradigan F funktsiyasi bilan almashtirish kerak bo'ladi. vakillik. Taxminlash (yaqinlash) uchun ma'lum bir sinfga mansub F funktsiyalardan foydalaniladi, masalan, ma'lum darajadagi algebraik ko'phadlar. Funksiyani yaqinlashtirish masalasining turli xil versiyalari mavjud bo‘lib, ular qaysi f funksiyalar yaqinlashishi, qaysi F funksiyalari yaqinlashtirish uchun ishlatilishi, f va F funksiyalarning yaqinligi qanday tushunilishi va hokazolarga bog‘liq.

Taxminiy funktsiyalarni qurish usullaridan biri interpolyatsiya bo'lib, ma'lum nuqtalarda (interpolyatsiya tugunlarida) asl f va F yaqinlashuvchi funktsiyaning qiymatlari mos kelishi kerak bo'lsa. Umumiy holda, berilgan nuqtalardagi hosilalar mos kelishi kerak.

Funksiya interpolyatsiyasi hisoblash qiyin bo'lgan boshqasini hisoblash uchun qulay bo'lgan funktsiyani almashtirish uchun ishlatiladi; funktsiyani alohida nuqtalarda uning qiymatlaridan taxminan tiklash uchun; funksiyalarni sonli differentsiallash va integrallash uchun; nochiziqli va differensial tenglamalarni sonli yechish uchun va hokazo.

Eng oddiy interpolyatsiya muammosi quyidagicha. Segmentdagi ma'lum bir funktsiya uchun interpolyatsiya tugunlari deb ataladigan nuqtalarda n+1 qiymatlari belgilanadi. Qayerda. Interpolyatsiya tugunlarida f(x) bilan bir xil qiymatlarni qabul qiluvchi F(x) interpolyatsiya qiluvchi funktsiyani qurish kerak:

F(x 0) = f(x 0), F(x 1) = f(x 1), ... , F(x n) = f(x n)

Geometrik jihatdan bu berilgan nuqtalar sistemasidan (x i, y i), i = 0,1,…,n oʻtuvchi maʼlum turdagi egri chiziqni topishni bildiradi.

Agar argumentning qiymatlari mintaqadan tashqariga chiqsa, biz ekstrapolyatsiya haqida gapiramiz - funktsiyani uning ta'rifi hududidan tashqarida davom ettirish.

Ko'pincha F(x) funksiya algebraik ko'phad ko'rinishida tuziladi. Algebraik interpolyatsiya polinomlarining bir nechta ko'rinishlari mavjud.

Nuqtalarda qiymatlarni qabul qiluvchi funktsiyalarni interpolyatsiya qilish usullaridan biri quyidagi ko'rinishga ega bo'lgan Lagrange polinomini qurishdir:

n+1 interpolyatsiya tugunlari orqali o'tadigan interpolyatsiya polinomining darajasi n ga teng.

Lagranj ko‘phadining shaklidan kelib chiqadiki, yangi tugun nuqtasi qo‘shilishi ko‘phadning barcha hadlari o‘zgarishiga olib keladi. Bu Lagrange formulasining noqulayligi. Ammo Lagranj usuli minimal arifmetik amallarni o'z ichiga oladi.

Darajalari ortib borayotgan Lagranj koʻphadlarini qurish uchun quyidagi takrorlash sxemasidan (Aitken sxemasi) foydalanish mumkin.

Ikki nuqta (x i , y i) , (x j , y j) (i=0,1,…,n-1 ; j=i+1,…,n) nuqtadan o‘tuvchi ko‘pnomlarni quyidagicha ifodalash mumkin:

Uchta nuqtadan oʻtuvchi koʻpnomlar (x i, y i) , (x j, y j) , (x k, y k)

(i=0,…,n-2 ; j=i+1,…,n-1 ; k=j+1,…,n), L ij va L jk ko‘phadlari orqali ifodalanishi mumkin:

L ijk va L jkl ko‘phadlardan to‘rtta nuqta (x i, y i), (x j, y j), (x k, y k), (x l, y l) uchun ko‘phadlar yasaladi:

Jarayon berilgan n ta nuqtadan o'tuvchi ko'phad olinmaguncha davom etadi.

Aitken sxemasini amalga oshirgan holda, XX nuqtada Lagranj ko'phadining qiymatini hisoblash algoritmini operator yordamida yozish mumkin:

uchun (int i=0;i

uchun (int i=0;i<=N-2;i++)Здесь не нужно слово int, программа

u xato sifatida qabul qilinadi - o'zgaruvchining takroriy deklaratsiyasi,

i o'zgaruvchisi allaqachon e'lon qilingan

uchun (int j=i+1;j<=N-1;j++)

F[j]=((arg-x[i])*F[j]-(arg-x[j])*F[i])/(x[j]-x[i]);

Bu erda F massiv Lagrange ko'phadining oraliq qiymatlari. Dastlab, F[I] y i ga teng bo'lishi kerak. Looplar bajarilgandan so'ng, F[N] - XX nuqtadagi N darajali Lagranj ko'phadining qiymati.

Interpolyatsiya ko'phadini tasvirlashning yana bir shakli Nyuton formulalaridir. Bir xil masofadagi interpolyatsiya tugunlari bo'lsin; i=0,1,…,n ; - interpolyatsiya bosqichi.

To'g'ridan-to'g'ri interpolyatsiya qilish uchun ishlatiladigan Nyutonning 1-interpolyatsiya formulasi:

(cheklangan) i-tartibli farqlar deb ataladi. Ular quyidagicha tasniflanadi:

Normallashtirilgan argument.

Nyutonning interpolyatsiya formulasi Teylor qatoriga aylanganda.

Nyutonning 2-interpolyatsiya formulasi "orqaga" interpolyatsiya qilish uchun ishlatiladi:

Oxirgi yozuvda farqlar o'rniga ("oldinga" farqlar deb ataladi) "orqaga" farqlar qo'llaniladi:

Teng bo'lmagan masofada joylashgan tugunlar bo'lsa, deb ataladi ajratilgan farqlar

Bunday holda, Nyuton ko'rinishidagi interpolyatsiya ko'phadli shaklga ega

Lagrange formulasidan farqli o'laroq, yangi juft qiymatlarni qo'shish. (x n +1, y n +1) bu yerda bitta yangi hadni qo‘shishga qisqartiriladi. Shuning uchun, butun hisob-kitobni takrorlamasdan, interpolyatsiya tugunlari soni osongina ko'paytirilishi mumkin. Bu interpolyatsiyaning aniqligini baholash imkonini beradi. Biroq, Nyuton formulalari Lagrange formulalariga qaraganda ko'proq arifmetik amallarni talab qiladi.

n=1 uchun chiziqli interpolyatsiya formulasini olamiz:

n=2 uchun biz parabolik interpolyatsiya formulasiga ega bo'lamiz:

Funktsiyalarni interpolyatsiya qilishda yuqori darajadagi algebraik polinomlar katta hisoblash xarajatlari va qiymatlarni hisoblashda katta xatolar tufayli kamdan-kam qo'llaniladi.

Amalda ko'pincha qismli chiziqli yoki qismli parabolik interpolyatsiya qo'llaniladi.

Bo‘lakli chiziqli interpolyatsiya bilan (i=0,1,…,n-1) oraliqdagi f(x) funksiya to‘g‘ri chiziq segmenti bilan yaqinlashtiriladi.

Bo'lak-bo'lak chiziqli interpolyatsiyani amalga oshiradigan hisoblash algoritmi operator yordamida yozilishi mumkin:

uchun (int i=0;i

agar ((arg>=Fx[i]) && (arg<=Fx))

res=Fy[i]+(Fy-Fy[i])*(arg-Fx[i])/(Fx-Fx[i]);

Birinchi pastadir yordamida biz kerakli nuqta qaerda joylashganligini qidiramiz.

Bo'lak parabolik interpolyatsiyada ko'phad berilgan argument qiymatiga eng yaqin bo'lgan 3 ta tugun nuqtasi yordamida quriladi.

Bo'lak parabolik interpolyatsiyani amalga oshiradigan hisoblash algoritmi operator yordamida yozilishi mumkin:

uchun (int i=0;i

y0=Fy; i=0 uchun element mavjud emas!

x0=Fx; Xuddi shu

res=y0+(y1-y0)*(arg-x0)/(x1-x0)+(1/(x2-x0))*(arg-x0)*(arg-x1)*(((y2-y1) /(x2-x1))-((y1-y0)/(x1-x0)));

Interpolatsiyadan foydalanish har doim ham tavsiya etilmaydi. Eksperimental ma'lumotlarni qayta ishlashda funktsiyani tekislash maqsadga muvofiqdir. Eksperimental bog'liqliklarni eng kichik kvadratlar usuli bilan yaqinlashtirish o'rtacha kvadrat xatosini minimallashtirish talabidan kelib chiqadi.

Taxminlovchi ko'phadning koeffitsientlari m + 1 chiziqli tenglamalar deb ataladigan tizimning yechimidan topiladi. “normal” tenglamalar, k=0,1,…,m

Algebraik ko'phadlardan tashqari, trigonometrik ko'phadlar ham funksiyalarni taqribiylashtirish uchun keng qo'llaniladi.

(qarang: "raqamli harmonik tahlil").

Splaynlar funksiyani yaqinlashtirish uchun samarali apparatdir. Spline uning qiymatlari va tugun nuqtalaridagi hosilalari interpolyatsiya qilingan f(x) funksiyasi va uning hosilalari ma'lum bir tartibgacha mos kelishini talab qiladi. Biroq, ba'zi hollarda splinelarni qurish katta hisoblash xarajatlarini talab qiladi.

Odatda eksperimental tadqiqotlar yordamida aniqlanadigan haqiqiy chiziqli bo'lmagan elementlarning xarakteristikalari murakkab shaklga ega va jadvallar yoki grafiklar shaklida taqdim etiladi. Shu bilan birga, sxemalarni tahlil qilish va hisoblash uchun xususiyatlarning analitik ko'rinishi kerak, ya'ni. juda oddiy funksiyalar ko'rinishida tasvirlash. Grafik yoki jadval shaklida berilgan xarakteristikalar uchun analitik ifodani tuzish jarayoni deyiladi yaqinlashish.

Taxminan quyidagi muammolarni hal qiladi:

1. Kirish signallari diapazoniga bog'liq bo'lgan yaqinlashish maydonini aniqlash.

2. Taxminanlik aniqligini aniqlash. Ko'rinib turibdiki, yaqinlashish qandaydir analitik ifoda shaklida xarakteristikaning taxminiy ifodasini beradi. Shuning uchun, yaqinlashtiruvchi funktsiyaning tajribada aniqlangan xarakteristikaga yaqinlashish darajasini miqdoriy jihatdan aniqlash kerak. Ko'pincha ishlatiladi:

yagona yaqinlashish ko'rsatkichi - yaqinlashuvchi funktsiya berilgan funktsiyadan ma'lum bir raqamdan ko'proq farq qilmasligi kerak, ya'ni.

;

o'rtacha kvadrat yaqinlashish ko'rsatkichi - yaqinlashuvchi funktsiya o'rtacha kvadrat yaqinlashishda berilgan funktsiyadan ma'lum bir raqamdan ko'proq farq qilmasligi kerak, ya'ni.

;

tugun yaqinlashuvi (interpolyatsiya) - yaqinlashuvchi funktsiya ba'zi tanlangan nuqtalarda berilgan funksiya bilan mos kelishi kerak.

Turli xil yaqinlashish usullari mavjud. Ko'pincha, I-V xarakteristikalarini yaqinlashtirish uchun kuch polinomi va qismli chiziqli yaqinlashish, kamroq - eksponensial, trigonometrik yoki maxsus funktsiyalardan foydalangan holda (Bessel, Hermit va boshqalar) yaqinlashuv qo'llaniladi.

7.2.1. Kuchli polinom bo‘yicha yaqinlashish

Ishlash nuqtasi yaqinidagi chiziqli bo'lmagan oqim kuchlanishining xarakteristikasi Teylor qatoridagi chekli sonlar bilan ifodalanadi:

Seriyadagi atamalar soni talab qilinadigan taxminiy aniqlik bilan aniqlanadi. Seriyadagi atamalar qanchalik ko'p bo'lsa, taxmin qilish shunchalik aniq bo'ladi. Amalda talab qilinadigan aniqlikka ikkinchi va uchinchi darajali polinomlar bo'yicha yaqinlashish yordamida erishiladi. Imkoniyatlar - bular misol bilan ko'rsatilgan VAC grafigidan juda oddiy tarzda aniqlangan raqamlar.

Misol.

Shaklda ko'rsatilganni taxmin qilish uchun. 7.1, ikkinchi darajali quvvat polinomi tomonidan ish nuqtasiga yaqin joylashgan CVC, ya'ni. shaklning polinomi

0,2 V dan 0,6 V gacha bo'lgan yaqinlashish maydonini tanlaymiz. Muammoni hal qilish uchun uchta koeffitsientni aniqlash kerak. Shuning uchun biz o'zimizni uchta tugun nuqtasi bilan cheklaymiz (tanlangan diapazonning o'rtasida va chegaralarida), ular uchun uchta tenglama tizimini tuzamiz:

Guruch. 7.1. Tranzistorning IV xarakteristikalarini yaqinlashtirish

Tenglamalar tizimini yechish orqali aniqlaymiz , , . Shuning uchun, joriy kuchlanish xarakteristikasining grafigini tavsiflovchi analitik ifoda shaklga ega.

E'tibor bering, kuch polinomi bilan yaqinlashish asosan xususiyatlarning alohida qismlarini tavsiflash uchun ishlatiladi. Ishlash nuqtasidan kirish signalining sezilarli og'ishlari bilan yaqinlashishning aniqligi sezilarli darajada yomonlashishi mumkin.

Agar CVC grafik jihatdan aniqlanmagan bo'lsa, lekin ba'zi bir analitik funktsiya tomonidan belgilansa va uni kuch polinomi sifatida ko'rsatish zarur bo'lsa, u holda koeffitsientlar taniqli formuladan foydalanib hisoblanadi.

.

Buni ko‘rish oson ish nuqtasida oqim kuchlanishining xarakteristikasining qiyaligini ifodalaydi. Nishab qiymati sezilarli darajada ish nuqtasining holatiga bog'liq.

Ba'zi hollarda xarakteristikani Maklaurin seriyasi sifatida ifodalash qulayroqdir

7.2.2. Bo'lak-bo'lak chiziqli yaqinlashish

Agar kirish signalining kattaligi katta diapazonda o'zgarib tursa, u holda I-V xarakteristikasi bir nechta to'g'ri chiziq segmentlaridan iborat siniq chiziq bilan yaqinlashishi mumkin. Shaklda. Shakl 7.1b, uchta to'g'ri chiziq bilan yaqinlashtirilgan tranzistorning oqim kuchlanish xarakteristikasini ko'rsatadi.

Taxminan joriy kuchlanish xarakteristikasi uchun matematik formula

Ushbu turdagi yaqinlashish chiziqli bo'lmagan elementning ikkita muhim parametri bilan bog'liq: xarakteristikaning boshlanishining kuchlanishi va uning tikligi. Taxminan aniqlikni oshirish uchun chiziq segmentlari sonini oshiring. Biroq, bu oqim kuchlanish xarakteristikasining matematik formulasini murakkablashtiradi.