Images de Fourier - Coefficients de taux de Fourier complets F.(j.w. K.) Signal périodique (1) et densité spectrale F.(j.w) signal non périodique (2) - avoir un certain nombre de propriétés communes.
1. Linéarité . Intégrales (1) et (2) effectuer la fonction de conversion linéaire f.(t.). Par conséquent, l'image de Fourier d'une combinaison linéaire de fonctions est égale à une combinaison linéaire similaire de leurs images. Si un f.(t.) = uNE. 1 f. 1 (t.) + uNE. 2 f. 2 (t.), T. F.(j.w) \u003d. uNE. 1 F. 1 (j.w) +. uNE. 2 F. 2 (j.w) où F. 1 (j.wi. F. 2 (j.w) - images de Fourier de signaux f. 1 (t.) JE. f. 2 (t.), respectivement.
2. Retard (Changer le début du temps pour les fonctions périodiques) . Considérer le signal f. 2 (t.), détenu pendant le temps t. 0 Concernant le signal f. 1 (t.) avoir la même forme: f. 2 (t.) = f. 1 (t. – t. 0). Si le signal f. 1 a une image F. 1 (j.w), puis signal image de Fourier f. 2 égaux F. 2 (j.w) \u003d \u003d \u003d \u003d . DOMNOVIV et divisant les membres groupés comme suit:
Depuis la dernière intégrale est égale F. 1 (j.w) alors F. 2 (j.w) \u003d. e. -j. W. t. 0 F. 1 (j.w) . Ainsi, quand un signal délai de temps t. 0 (changement dans le début du chronométrage) Le module de sa densité spectrale ne change pas et que l'argument diminue par la valeur de w t. 0, temps de retard proportionnel. Par conséquent, les amplitudes du spectre du signal ne dépendent pas du début de la référence et des phases initiales sur le retard dans t. 0 diminution de w t. 0 .
3. Symétrie . Pour valide f.(t.) Image F.(j.w) a une symétrie conjuguée: F.(– j.w) \u003d. . Si un f.(t.) - Même fonction, alors im F.(j.w) \u003d 0; Pour la fonction étrange re F.(j.w) \u003d 0. Module | F.(j.w) | et une partie réelle re F.(j.w) - Fonctions même fréquences, argument argument argore F.(j.w) et im F.(j.w) - impair.
4. Différenciation . De la formule de la conversion directe, intégrant des pièces, nous obtenons la connexion de l'image de la dérivée f.(t.) Avec l'image du signal lui-même
Pour une fonction absolument intégrable f.(t.) Un membre hors intégré est nul et, par conséquent, lorsque, et la dernière intégrale représente l'image de Fourier du signal source F.(j.w) . Par conséquent, le dérivé d'image de Fourier df./dt. associé à l'image du signal lui-même par le ratio j.w. F.(j.w) - lors de la différenciation du signal, son image de Fourier est multipliée par j.w. Le même rapport est vrai pour les coefficients F.(j.w. K.), qui sont déterminés par intégration à la limite de fin de - T./ 2 à + T./2. En effet, le travail approprié
Car en raison de la fréquence de la fonction f.(T./2) = f.(– T./ 2), a \u003d \u003d \u003d (- 1) K., dans ce cas, un membre officiel de disparition disparaît et la formule est juste
lorsque la flèche est signalée symboliquement par l'opération de transformation directe de Fourier. Ce ratio est généralisé et pour une différenciation multiple: pour n.- J'ai un dérivé: d n f./dT N. (j.w) n F.(j.w).
Les formules résultantes vous permettent de trouver une image de Fourier de dérivés par son spectre connu. Ces formules sont également habituellement utilisées dans les cas où, à la suite de la différenciation, nous arrivons à la fonction, dont l'image de Fourier est calculée simplement. Donc si f.(t.) - fonction linéaire par morceaux, puis son dérivé df./dt.- Constante par morceaux, et pour elle, l'intégration de la transformation directe est élémentaire. Pour obtenir les caractéristiques spectrales de la fonction intégrale f.(t.) Son image doit être divisée en j.w.
5. Dualité du temps et de la fréquence . La comparaison des intégrales des transformations directes et inverse Fourier conduit à la conclusion sur leur symétrie particulière, qui devient plus apparente si la formule de transformation inverse réécrit, transférant le multiplicateur 2P à la partie gauche de l'égalité:
Pour le signal f.(t.), qui est une fonction uniforme f.(– t.) = f.(t.) Quand la densité spectrale F.(j.w) - Valeur réelle F.(j.w) \u003d. F.(W), les deux intégrales peuvent être réécrites sous la forme trigonométrique de la conversion de cosinus Fourier:
Avec remplacement mutuel t. Et des intégrales Les transformations directes et inverse vont les unes aux autres. Il s'ensuit que si F.(W) représente la densité spectrale de la fonction de temps même f.(t.), alors fonction 2p f.(w) est la densité de signal spectral F.(t.). Pour les fonctions impaires f.(t.) [f.(t.) = – f.(t.)] Densité spectrale F.(j.w) purement imaginaire [ F.(j.w) \u003d. jf(W)]. Les intégrales de Fourier dans ce cas sont données au type de transformations sinusoïdales, à partir de laquelle il s'ensuit que si la densité spectrale jf(w) correspond à une fonction impaire f.(t.) alors la magnitude j.2p. f.(W) représente la densité de signaux spectraux F.(t.). Ainsi, les graphiques des dépendances temporelles des signaux des classes spécifiées et de sa densité spectrale sont dual les uns sur les autres.
Intégral (1)
Intégral (2)
En génie radio, la représentation spectrale et temporelle des signaux est largement utilisée. Bien que les signaux soient des processus aléatoires, toutefois, les implémentations individuelles du processus aléatoire et certains signaux spéciaux (par exemple, mesurant) peuvent être considérés comme déterministes (c'est-à-dire connus). Ce dernier est fabriqué pour diviser sur périodiques et non périodiques, bien qu'il n'y ait pas de signaux strictement périodiques. Le signal est appelé périodique s'il remplit la condition
À l'intervalle de temps, où T est une valeur constante, appelée une période et un k-tout entier.
L'exemple le plus simple d'un signal périodique est une oscillation harmonique (ou un harmonique court).
où - amplitude, \u003d - fréquence - fréquence circulaire, - la phase initiale des harmoniques.
L'importance du concept d'harmoniques pour la théorie et la pratique de l'ingénierie radio est due à un certain nombre de raisons:
- les signaux harmoniques conservent leur forme et leur fréquence lors du passage à travers des circuits électriques linéaires fixes (par exemple, des filtres), ne changent que l'amplitude et la phase;
- les signaux harmonique sont suffisamment produits (par exemple, à l'aide de bémures Auto LC).
Le signal non périodique est appelé signal différent de zéro à l'intervalle de temps final. Le signal non périodique peut être considéré comme périodique, mais avec une période infiniment large. L'une des principales caractéristiques du signal non périodique est son spectre. Le spectre du signal s'appelle une fonction montrant la dépendance de l'intensité de diverses harmoniques dans la composition du signal, de la fréquence de ces harmoniques. Le spectre d'un signal périodique est la dépendance des coefficients de la série Fourier de la fréquence de l'harmonique, ce qui correspond à ces coefficients. Pour un signal indexé, le spectre est une transformation directe du signal Fourier. Donc, le spectre d'un signal périodique est un spectre discret (fonction de fréquence discrète), tandis que le signal non périodique est caractérisé par un spectre solide (continu).
Nous attirons l'attention sur le fait que les spectres distincts et continus ont des dimensions différentes. Le spectre discret a la même dimension que le signal, tandis que la dimension du spectre continu est égale au rapport de la dimension du signal à la dimensionnalité de la fréquence. Si, par exemple, le signal est représenté par la tension électrique, le spectre discrète sera mesuré en volts [B] et continu - à Volts à Hertz [B / Hz]. Par conséquent, le terme "densité spectrale" est également utilisé pour le spectre continu.
Considérons d'abord la représentation spectrale des signaux périodiques. Du cours de mathématiques, il est connu que toute fonction périodique répondant à Dirichlet (l'une des conditions nécessaires est que l'énergie est finalement) peut être représentée par la forme de Fourier sous trigonométrique:
où il détermine la valeur du signal moyen pendant la période et s'appelle le composant constant. La fréquence est appelée la fréquence principale du signal (la fréquence du premier harmonique) et la fréquence est multiple - les harmoniques les plus élevées. L'expression (3) peut être représentée comme suit:
Dépendances inverse pour les coefficients A et B sont
La figure 1 montre une vue typique du spectre des amplitudes du signal périodique pour la forme trigonométrique de la rangée (6):
En utilisant l'expression (formule Euler).
au lieu de (6), vous pouvez enregistrer la forme complexe de la série Fourier:
lorsque le coefficient s'appelle des amplitudes complexes d'harmoniques, dont les valeurs de (4) et la formule d'Euler, sont déterminées par l'expression:
Comparaison (6) et (9), nous remarquons que, lors de l'utilisation d'une forme complète d'enregistrement d'une série de Fourier, les valeurs négatives de K suggèrent que les composants avec des "fréquences négatives". Cependant, l'émergence de fréquences négatives est formelle et est associée à l'utilisation d'un formulaire d'enregistrement complet pour représenter le signal réel.
Puis au lieu de (9) nous obtenons:
il a la dimension de [amplitude / hertz] et montre l'amplitude du signal par bande dans 1 hertz. Par conséquent, cette fonction de fréquence continue S (JW) est appelée la densité spectrale d'amplitudes complexes ou une densité spectrale simplement. Nous notons une circonstance importante. Comparer des expressions (10) et (11) nous remarquons qu'avec W \u003d KWO, ils ne diffèrent que d'un facteur constant, et
ceux. Les amplitudes complexes de fonction périodique avec une période de T peuvent être déterminées par la caractéristique spectrale de la fonction non périodique de la même forme spécifiée dans l'intervalle. Spécifié et par rapport au module de densité spectrale:
À partir de ce rapport, il s'ensuit que l'enveloppe du spectre d'amplitude continue du signal non périodique et de l'enveloppe des amplitudes du spectre de limite du signal périodique coïncide sous la forme et ne diffèrent qu'à la balance. Calculez maintenant l'énergie du signal non périodique. Multiplier les deux parties de l'inégalité (14) sur S (T) et s'intégrer dans des limites infinies, nous obtenons:
où S (JW) et S (-JW) sont des valeurs de conjugué complexes. Comme
Cette expression s'appelle Parkeshell Égalité pour le signal non périodique. Il détermine l'énergie du signal total. Il s'ensuit qu'il n'y a rien d'autre que le signal du signal, qui vient sur 1 bande de bande de Hz près de la fréquence w. Par conséquent, la fonction est parfois appelée la densité spectrale de l'énergie du signal S (t). Donnons maintenant sans la preuve de plusieurs théorèmes Spectra exprimant les propriétés de base de Fourier Transform.
Remarques générales
Parmi les divers systèmes de fonctions orthogonales, pouvant être utilisés comme bases pour représenter des signaux d'ingénierie radio, des fonctions harmonique (sinusoïdale et cosinus) occupent un lieu exceptionnel. La valeur des signaux harmonique des ingénieurs de radio est due à un certain nombre de raisons.
En génie radio, vous devez faire face aux signaux électriques associés aux messages transmis reçus par la méthode de codage.
On peut dire que le signal électrique est un processus physique (électrique) transportant des informations. La quantité d'informations pouvant être transmise avec un certain signal dépend de ses paramètres principaux: une durée, des bandes de fréquences, une puissance et d'autres caractéristiques. Le niveau d'interférence dans le canal de communication est également important: plus ce niveau est petit, plus la quantité d'informations peut être transmise à l'aide d'un signal avec une puissance donnée. Avant de parler des capacités d'information du signal, il est nécessaire de vous familiariser avec ses principales caractéristiques. Il est conseillé de prendre en compte les signaux déterministes et aléatoires séparément.
Le déterministe appelé n'importe quel signal, la valeur instantanée dont on peut prédire à tout moment avec une unité de probabilité.
Des exemples de signaux déterministes peuvent être des impulsions ou des pouls d'impulsion, la forme, la valeur et la position à l'heure qui sont connues, ainsi qu'un signal continu avec une amplitude et des rapports de phase donnés dans son spectre. Les signaux déterministes peuvent être divisés en périodiques et non périodiques.
Périodique s'appelle tout signal pour lequel la condition est satisfaite.
où la période t est un segment fini et k est un entier.
Le signal déterministe périodique le plus simple est une oscillation harmonique. Une oscillation strictement harmonique s'appelle monochromatique. Cet effet emprunté à l'optique souligne que le spectre de l'oscillation harmonique consiste en une seule ligne spectrale. Dans des signaux réels qui ont le début et la fin, le spectre est inévitablement érodé. Par conséquent, il n'existe aucune oscillation monochromatique stricte de nature. À l'avenir, sous le signal harmonique et monochromatique, il sera conditionnellement impliqué de l'oscillation. Tout signal périodique complexe est connu pour être représenté comme la somme d'oscillations harmonique avec des fréquences, multiple de la fréquence principale W \u003d 2 * PI / T. La principale caractéristique du signal périodique complexe est sa fonction spectrale contenant des informations sur les amplitudes et les phases des harmoniques individuelles.
Un signal détectable unimain est appelé tout signal déterministe pour lequel la condition S (t) S (t + kt) est effectuée.
En règle générale, le signal non périodique est limité dans le temps. Des exemples de tels signaux peuvent servir des impulsions déjà mentionnées, des poulies, des "restes" d'oscillations harmonique, etc. Les signaux non périodiques présentent un intérêt majeur, car ils sont principalement utilisés dans la pratique.
La principale caractéristique de la non-périodique, ainsi qu'un signal périodique est sa fonction spectrale;
Les signaux aléatoires incluent des signaux dont les valeurs sont inconnues à l'avance et ne peuvent être prédites qu'avec une probabilité d'une unité plus petite. Ces fonctions sont, par exemple, une tension électrique correspondant à la parole, à la musique, à la séquence de signes de code télégraphique lors de la transmission de texte non répété. Les signaux aléatoires incluent également la séquence d'impulsions radio à l'entrée du récepteur radar, lorsque les amplitudes des impulsions et les phases de leur remplissage à haute fréquence sont fluctualisées en raison de l'évolution des conditions de distribution, de la position de la cible et de certains autres raisons. Vous pouvez apporter un grand nombre d'autres exemples de signaux aléatoires. Essentiellement, tout signal comportant des informations doit être considéré comme aléatoire. Les signaux déterministes énumérés, «pleinement connu», aucune information n'est plus. À l'avenir, ces signaux seront souvent notés par le terme "oscillation".
Une approche statistique est appliquée pour caractériser et analyser des signaux aléatoires. Comme les principales caractéristiques des signaux aléatoires acceptent:
a) la loi de la distribution de probabilité.
b) Distribution de puissance de signal spectral.
Basé sur la première caractéristique, vous pouvez trouver l'heure relative de rester la valeur du signal à un certain niveau de niveaux, le rapport de valeurs maximales à la norme et au nombre d'autres paramètres de signal importants. La deuxième caractéristique ne donne que la distribution des fréquences de la puissance moyenne du signal. Des informations plus détaillées sur les composants individuels du spectre - à propos de leurs amplitudes et phases - la caractéristique spectrale du processus aléatoire ne donne pas.
Parallèlement à des signaux aléatoires utiles en théorie et en pratique, il est nécessaire de gérer les interférences aléatoires - le bruit. Comme mentionné ci-dessus, le niveau de bruit est le facteur principal limitant le taux de transfert d'informations à un signal donné.
Les signaux périodiques n'existent naturellement pas, car tout signal réel a le début et la fin. Toutefois, lors de l'analyse des signaux en mode stable, il peut être traité à partir de l'hypothèse qu'elles existent infiniment pendant une longue période et adoptent une telle fonction périodique du temps en tant que modèle mathématique. Ce qui suit est considéré comme la représentation de telles fonctions, à la fois sous la forme de la somme des composants exponentiels et la transformation d'entre eux en harmonique.
Laissez la fonction u (t), donnée dans l'intervalle de temps et satisfaisant les conditions de la Dirichlet, est répétée avec la période \u003d 2 / \u003d T2 -T 1 pendant le temps de - à +.
Conditions de Dirichlet: À tout intervalle final, la fonction doit être continue ou avoir un nombre fini de points de rupture de premier ordre, ainsi qu'un nombre fini de points extrêmes. Aux points d'arrêt, le fonctionnement (t) devrait être considéré comme égal.
Si les fonctions exponentielles sont sélectionnées comme base, l'expression (1.5) sera enregistrée sous la forme
Le rapport (1.15) est une série de Fourier de forme complète contenant des fonctions exponentielles comme avec un paramètre positif et négatif? (Vue bilatérale de fréquence). Les composants avec des fréquences négatives sont une conséquence d'une forme complète d'enregistrement d'une fonction réelle.
La fonction A (JK? 1) est appelée spectre complexe d'un signal périodique (T). Ce spectre est discrète, car la fonction de fonctionnalité (JK? 1) est définie sur un axe numérique pour les valeurs entières. La fonction de la fonction (JK? 1) est appelée amplitude complexe avec une amplitude spécifique.
Enveloppe Complexe Spectrum A (J?)
Nous écrivons un spectre complexe sous la forme
Le module de spectre complexe A (k? 1) s'appelle le spectre d'amplitude et la fonction? (K? 1) - Spectrum de phase.
Si le spectre des amplitudes et du spectre des phases de signal sont connus, alors conformément à (1.15), il est définitivement restauré. Dans des applications pratiques, le spectre des amplitudes est plus important et des informations sur les phases des composants sont souvent insignifiantes.
Depuis un (k? 1) et? (K? 1) sont différents de zéro uniquement avec entier, les spectres d'amplitudes et de phases du signal périodique sont distincts.
Utilisation de la formule Euler E - JK? T \u003d COSK? T - J SLANGE? T, exprimer un spectre complexe (JK? 1) sous la forme de parties valides et imaginaires:
Le spectre d'amplitude est une fonction uniforme K, c'est-à-dire
Comme la parité est k et in k, le contraire, la fonction de spectre de phase est impair, c'est-à-dire
À k \u003d 0 nous obtenons un composant constant
De la représentation spectrale bilatérale, il est facile de passer à unilatéral (ne pas avoir de fréquences négatives), combinant des composants associés à un complexe [cm. (1.14)]. Dans ce cas, nous obtenons une série de Fourier sous forme trigonométrique. En effet, en surbrillance dans (1.15) un composant constant A 0/2 et résumant les composants de la fréquence symétrique? et nous avons
Compte tenu des relations (1.15) et (1.16), écrivez
En utilisant la formule d'Euler (1.14) et indiquant? (K? 1) à travers? k, enfin obtenir
Autre forme trigonométrique d'une série de Fourier, ayant une vue
Cependant, il est moins pratique pour une application pratique. Les composants distincts des vues (1.23) et (1,24) sont appelés harmoniques. Le spectre des amplitudes et le spectre de phase du signal périodique sont pratiques pour représenter des diagrammes spectraux visuels. Dans la plage du spectre d'amplitude, chaque harmonique est mis en conformité avec le segment vertical, dont la longueur est proportionnelle à l'amplitude et l'emplacement sur l'axe Abscisse correspond à la fréquence de ce composant. De même, le diagramme de spectre de phase indique les valeurs des harmoniques de phase. Étant donné que les spectres sont affichés par les lignes de lignes, elles sont souvent appelées linéaires.
Notez que le spectre discret (ligne) n'appartient pas nécessairement au signal périodique. Le spectre du signal périodique caractérise la combinaison d'harmoniques, multiple de la fréquence principale ??. Les spectres d'exécution, y compris les harmoniques des fréquences non optiques, appartiennent aux signaux soi-disant presque périodiques. Le diagramme de spectre des amplitudes du signal périodique est représenté sur la Fig. 1.4. L'enveloppe (t) de ce spectre d'amplitudes peut être obtenue, remplacée? 1 à (k? 1) sur?, Où? \u003d k? 1 pour la k-th harmonica.
Exemple 1.1.. Déterminez les spectres d'amplitudes et de phases d'une séquence périodique d'impulsions rectangulaires durables? Et amplitude 0, après la fréquence? 1 \u003d 2? /? (Fig. 1.5).
La fonction U (t) décrivant une telle séquence d'impulsions sur la période, peut être définie comme suit:
Conformément à (1.16), nous avons ou
Amplitudes harmoniques, y compris un composant constant, égale à 0/2, nous définissons de l'expression à K \u003d O, 1, 2, ....
Le choix du temps de départ sur leur ampleur n'affecte pas. L'enveloppe du spectre des amplitudes est déterminée par le type de fonction
À? \u003d 0 recevoir
La nature du changement d'amplitudes est dictée par les fonctions de X / X et ne dépend pas de la fréquence des impulsions. À des fréquences, plusieurs2? /?, Le spectre de l'enveloppe est zéro.
En figue. 1.6 montre le diagramme de spectre d'amplitude pour le cas
/? \u003d 3 [? 1 \u003d 2? / (3?)]. Le nombre de composants dans le spectre est infiniment grand. La raideur des fronts d'impulsion est due à la présence dans les composants du spectre avec des fréquences dépassant sensiblement la fréquence principale? une .
S'appuyant sur la formule (1.29) et en tenant compte des signes de la fonction SIN (K? 1/2) sur la séquence d'intervalles de fréquence ?? \u003d 2? /? Alterner, l'expression du spectre de phase que nous écrivons comme suit:
où n est le numéro d'intervalle de fréquence? \u003d 2? / ?, compté de? \u003d 0.
Le spectre de phase dépend du choix de l'origine. Si l'avant avant de l'impulsion rectangulaire de la séquence tombe au début de la référence de temps, alors à chaque intervalle ?? \u003d 2? /? Les phases des constituants augmentent linéairement. Le diagramme du spectre de phase de la séquence des impulsions rectangulaires à cette occasion (? /? \u003d 3, t 1 \u003d 0) est représenté sur la Fig. 1.7.
Exemple 1.2.. Calculez les différents premiers membres de la série Fourier pour une séquence périodique d'impulsions rectangulaires et de la trace de la manière dont leur gomme est convergée au signal spécifié.
Nous utilisons les résultats de l'exemple précédent pour le cas d'une séquence d'impulsions périodique largement utilisée utilisée dans la pratique dont la durée? Égal à une demi-période de T. Nous prenons également 1 \u003d 0.
Par formule (1.32), nous définissons un composant constant et, selon les formules (1,30) et (1.33) - amplitudes et phases des cinq premières harmoniques. Ces calculs sont résumés dans le tableau. 1.1. Même harmoniques dans le tableau. 1.1 ne sont pas spécifiés, car ils sont nuls.
Tableau 1.1.
Résumer les composants indiqués, nous obtenons la séquence d'impulsions (Fig. 1,8), différentes de manière rectangulaire, de manière rectangulaire, pas assez de hautes frontales de raidisme.
Notez que la raideur des fronts d'impulsion est due à la présence dans leurs composants de spectre avec des fréquences, dépassant plusieurs fois la fréquence principale.
La forme de caractéristique de fréquence d'amplitude n'est rien d'autre qu'une image spectrale du décomposition sinusoïdal Signal. De plus, comme on le sait, la caractéristique de passage de fréquence d'amplitude d'un seul circuit oscillatoire électrique a une forme similaire.
La dépendance entre la forme des caractéristiques de fréquence d'amplitude de certains dispositifs et les propriétés du signal sont étudiées dans les bases de l'ingénierie électrique théorique et de l'ingénierie radio théorique. En bref, le fait que nous devions être intéressés par cela est le suivant.
La fréquence d'amplitude caractéristique du circuit oscillant le long des lignes coïncide avec l'image du spectre de fréquence du signal, qui se produit lorsque l'excitation de ce circuit oscillatoire se produit. Pour illustrer ce moment, la Fig.1-3 est montrée, à laquelle la sinusoïde du couchage est décrite, ce qui se produit pendant l'effet de choc sur le circuit oscillant. Ce signal est donné dans le temps à propos dem ( mais) et spectral ( b.) Image.
Figure. 1-3.
Selon la section des mathématiques, appelées transformations spectrales-temporelles, spectrales et image temporaire de la même variable de processus dans le temps, comme si Synonymes, ils sont équivalents et identiques les uns aux autres. Cela peut être comparé à la traduction du même concept d'une langue à une autre. Toute personne familiarisée avec cette section de mathématiques dira que les dessins 1-3 mais et 1-3. b. Équivalent les uns aux autres. De plus, l'image spectrale de ce signal obtenu lors de l'excitation des chocs du système oscillant (circuit oscillatoire) est simultanément similaire à la caractéristique de fréquence d'amplitude de ce circuit lui-même.
Il est facile de voir que l'horaire ( b.) La figure 1-3 est géométriquement similaire à celui de l'annexe 3 Figure 1-1. C'est-à-dire qu'un graphique a été reçu à la suite de mesures 3 Je l'ai immédiatement mentionné non seulement comme la fréquence d'amplitude caractéristique de l'atténuation du son dans les roches du toit, mais aussi comme un témoignage de la présence dans l'épaisseur de race du système oscillant.
D'une part, la présence de systèmes oscillatoires dans les rochers, qui se produisent dans le toit de la production souterraine, je n'ai causé aucune question, car d'autres moyens d'obtenir un signal sinusoïdal (ou, en d'autres termes, un signal harmonique) est impossible . D'autre part, la présence de systèmes oscillatoires dans l'épaisseur terrestre que je n'ai jamais entendu auparavant.
Pour commencer, nous rappelons la détermination du système oscillant. Le système oscillant est un objet qui est sur l'effet d'impact (pulsé) réagit par un signal harmonique en décomposition. Ou, en d'autres termes, il s'agit d'un objet avec un mécanisme de conversion d'impulsion (impact) dans une sinusoïde.
Les paramètres du signal sinusoïdal de pluies sont la fréquence f 0. et qualité Q. , dont la valeur est inversement proportionnelle au coefficient d'atténuation. Comme on peut le voir de la Fig. 1 à 3, ces deux paramètres peuvent être définis à la fois du temporaire et de l'image spectrale de ce signal.
Les transformations temporelles spectrales sont une section indépendante de mathématiques et l'une des conclusions que nous devons tirer sur la connaissance de cette section, ainsi que de la forme de la caractéristique de fréquence d'amplitude de la conductivité sonore du réseau de roches montré à la Fig. .1-1 (Curve 3), est selon les propriétés acoustiques, le réseau de race étudié a montré la propriété du système oscillatoire.
Cette conclusion est tout à fait évidente pour quiconque connaît des transformations temporelles spectrales, mais est catégoriquement inacceptable pour ceux qui travaillent professionnellement dans l'acoustique des médias solides, l'exploration sismique ou la géophysique générale. C'est donc arrivé que lors de l'étude des étudiants de ces spécialités, ce matériel ne donne pas.
Comme on le sait, dans une exploration sismique, on croit que le seul mécanisme du signal sismique est la propagation du champ des fluctuations élastiques dans le cadre des lois de l'optique géométrique, la réflexion des limites qui se produisent dans le sol de la Terre et les interférences entre l'individu composants du signal. On pense que la forme de signaux sismiques est due à la nature de l'interférence entre les nombreux petits échos, c'est-à-dire des réflexions d'une pluralité de petits salons dans la chaîne de montagnes de frontières. En outre, on pense qu'avec l'aide d'interférences, vous pouvez obtenir un signal de toute forme.
Oui, tout est vrai, mais le fait est que l'harmonique (y compris le signal de décoloration harmonique) est une exception. Il est impossible d'obtenir son ingérence.
Sinusoïde est une brique d'information élémentaire, non soumise à la désintégration sur des composants plus simples, car il est plus simple qu'un sinusoïde, le signal de la nature n'existe pas. C'est pourquoi, au fait, une série de Fourier est une combinaison de membres sinusoïdaux. Étant un élément d'information élémentaire et indivisible, une sinusoïde ne peut être obtenue en ajoutant (interférence) d'autres composants encore plus simples.
Il est possible d'obtenir un signal harmonique par un seul et unique moyen - à savoir l'impact sur le système oscillatoire. Avec un effet de choc (pulsé) sur le système oscillatoire, une sinusoïde décomposée se produit et avec un effet périodique ou bruit - une sinusoïde malchanceuse. Et, par conséquent, voyant que la caractéristique de fréquence d'amplitude d'un certain objet est géométriquement similaire à une image spectrale d'un signal de décomposition harmonique, on ne peut pas se rapporter à cet objet autrement quant au système oscillant.
Avant de passer les premières mesures dans la mine, je, comme toutes les autres personnes opérant dans la zone d'acoustique des médias solides et de l'exploration sismique, était convaincue qu'il n'y a pas de systèmes oscillat dans la matrice de race et ne peut pas être. Cependant, trouver une telle caractéristique de fréquence d'amplitude de l'atténuation, je n'avais tout simplement pas le droit de rester un avis.
Les mesures similaires à celles décrites ci-dessus sont très laborieuses et le traitement des résultats de ces mesures prend beaucoup de temps. Par conséquent, voyant que, par la nature de la solidité, le tableau de rock est un système oscillatoire, j'ai réalisé que vous devez utiliser un autre schéma de mesure, utilisé dans l'étude des systèmes oscillatoires et que nous utilisons à ce jour. Selon ce schéma, la source du signal de détection est l'effet impulsion (choc) sur le réseau de montagnes et le récepteur - le récepteur sismique, spécialement destiné aux mesures spectrales-sismiques. Le circuit d'indication et de traitement du signal sismine lui permet de l'observer à la fois sous forme temporaire et spectrale.
Application de ce schéma de mesure au même point de production souterraine à la première mesure, nous avons convaincu que lorsque la toiture est choquante, le signal résultant de cela a en fait l'apparence d'une sinusoïde sanglante comme représenté sur la Fig. 1 -3 . uNE.et son image spectrale est similaire au graphique illustré à la Fig. 1-3 b..
Le plus souvent, il arrive que le signal sismine ne contienne pas un, mais plusieurs composants harmoniques. Cependant, peu importe la quantité de composants harmoniques, ils se produisent tous uniquement en raison de la présence d'un nombre approprié de systèmes oscillatoires.
Études multiples de signaux sismiques obtenus dans diverses conditions - et dans les travaux souterrains et sur la surface de la Terre, et dans une affaire sédimentaire, et dans l'étude des roches de la Fondation cristalline - ont montré que dans tous les cas possibles de signaux obtenus non aussi Le résultat de la disponibilité de systèmes oscillatoires et à la suite de processus d'interférence, il n'y a pas.
1.2 Caractéristiques spectrales des signaux
Les signaux utilisés dans l'ingénierie radio ont une structure assez compliquée. Une description mathématique de ces signaux est une tâche difficile. Par conséquent, pour simplifier la procédure d'analyse des signaux et les transmettre à travers des chaînes d'ingénierie radio, une réception est utilisée, prévoyant la décomposition de signaux complexes à l'ensemble de modèles mathématiques idéalisés décrits par des fonctions élémentaires.
L'analyse spectrale harmonique des signaux périodiques implique la décomposition dans une série de Fourier sur les fonctions trigonométriques - sinus et cosinus. Ces fonctions décrivent des oscillations harmoniques qui conservent leur forme dans le processus de transformation par des dispositifs linéaires (changement d'amplitude et de phases), ce qui permet d'utiliser la théorie des systèmes oscillat d'analyser les propriétés des circuits radiochniques.
La série de Fourier peut être représentée comme
Une application pratique a une autre forme d'enregistrement de la série Fourier
où est le spectre d'amplitude;
- spectre de phase.
Forme complexe de Fourier
Les formules ci-dessus sont utilisées pour obtenir les caractéristiques spectrales du signal périodique. Pour obtenir un spectre de signal non périodique, des transformations de Fourier sont utilisées.
Transformation directe Fourier
Transformation inverse de Fourier
Les expressions (1.5), (1.6) sont les principales relations pour obtenir des caractéristiques spectrales.
1.3 Propriétés de transformation Fourier
Les formules de transformation de Fourier direct et inverse permettent au signal S (T) de déterminer sa densité spectrale S (JΩ) et, s'il est nécessaire d'une densité spectrale connue S (JΩ) de déterminer le signal S (T). Pour faire référence à cette correspondance entre le signal et son spectre, le symbole S (T) ↔ S (JΩ) est utilisé.
En utilisant les propriétés de transformation de Fourier, vous pouvez déterminer le spectre du signal modifié, transformant le spectre du signal initial.
Propriétés de base:
1. Linéarité
s 1 (t) ↔ s 1 (jω)
s n (t) ↔ s n (jω)
_____________________
Nous utilisons la transformation directe de Fourier
Résultat final
Conclusion: Transformation directe Fourier, est une opération linéaire, présente les propriétés de l'homogénéité et de l'additivité. Par conséquent, le spectre de la somme du signal est égal à la somme des spectres.
2. Spectacle de signalisation déplacé dans le temps
s (t ± t 0) ↔ s c (jω)
Résultat final
Conclusion: le décalage du signal à temps par la valeur de ± t 0 entraîne une modification de la caractéristique de phase du spectre par la valeur de ± Ωt 0. Le spectre d'amplitude ne change pas.
3. Changement de temps
s (αt) ↔ s m (jω)
Résultat final
Conclusion: lors de la compression (expansion) du signal dans un certain nombre, son spectre le long de l'axe de fréquence se développe à un certain nombre en même temps, avec une diminution proportionnelle (augmentation) de l'amplitude de ses composants.
4. Spectrum dérivé
ds (t) / dt↔ s p (jω).
Pour déterminer le spectre du dérivé du signal, prenez un dérivé de temps de la partie droite et gauche de la transformation inverse de Fourier:
Résultat final
Conclusion: le spectre du signal dérivé est égal au spectre source multiplié par jΩ. Dans ce cas, le spectre d'amplitude évolue proportionnellement au changement de fréquence et un composant constant est ajouté à la caractéristique de phase du signal source, égale à π / 2 à Ω\u003e 0 et égale à -π / 2
5. Spectrum d'intégrale
Prenez l'intégrale de la droite et de la partie gauche de la transformation inverse de Fourier
Comparer le résultat avec la conversion d'alimentation Fourier, nous obtenons
Résultat final
Conclusion: le spectre du signal égal au signal intégral du signal source est égal au spectre source divisé par JΩ. Dans ce cas, le spectre d'amplitude évolue inversement proportionnellement à la variation de fréquence et un composant constant est ajouté à la caractéristique de phase du signal source, égale à π / 2 à 0.
6. Spectrum du travail de deux signaux
s 1 (t) ↔ s 1 (jω)
s 2 (t) ↔ S 2 (jω)
s 1 (t) s 2 (t) ↔ s (jω).
Nous trouverons le spectre du travail de deux signaux utilisant la transformation inverse de Fourier
Résultat final
Conclusion: le spectre du travail de deux signaux est égal à la convolution de leurs spectres multiplié par le coefficient 1 / (2π).
Au cours du calcul des spectres du signal, des propriétés de linéarité et des propriétés intégrées du signal seront utilisées.
1 .4 Classification et propriétés de l'équipement radio
Dans les fondements théoriques des ingénieurs radio, les méthodes d'analyse et de synthèse de différentes chaînes radiochniques occupent une grande place. Dans le même temps, sous la chaîne radiotéchnique, l'ensemble de connectés de certaines manières d'éléments passifs et actifs, fournissant une conversion de passage et fonctionnelle de signaux. Les éléments passifs sont des résistances, des réservoirs, des inducteurs et des moyens de leur connexion. Les éléments actifs sont des transistors, des lampes électroniques, des alimentations et d'autres éléments pouvant produire de l'énergie, augmenter l'énergie du signal. S'il est nécessaire de mettre l'accent sur le but fonctionnel de la chaîne, alors au lieu de la chaîne de termes, le périphérique à terme est utilisé. Les chaînes radiochniques utilisées pour convertir les signaux sont très diverses dans sa composition, sa structure et sa caractéristique. Dans le processus de développement et de recherche analytique, divers modèles mathématiques sont utilisés qui répondent aux exigences de l'adéquation et de la simplicité. Dans le cas général, tout circuit radiotechnique peut être décrit par une relation formalisée qui détermine la conversion du signal d'entrée x (T) dans la sortie Y (t), qui est symboliquement peut être représentée sous forme de
où T est l'opérateur indiquant la règle par laquelle le signal d'entrée est converti.
Ainsi, en tant que modèle mathématique d'une chaîne d'ingénierie radio, la totalité de l'opérateur T et deux sets x \u003d (), y \u003d () signaux à l'entrée et la sortie de la chaîne de sorte que
Selon la conversion des signaux d'entrée le week-end, c'est-à-dire Selon le type d'opérateur T, ils produisent une classification des chaînes radiochniques.
1. La chaîne radiochnique est linéaire si l'opérateur t est tel que la chaîne répond aux conditions d'additivité et d'homogénéité.
Il est caractéristique que la conversion du signal linéaire de toute forme n'est pas accompagnée de l'apparition du signal de sortie des composants harmoniques avec de nouvelles fréquences, c'est-à-dire La transformation linéaire ne conduit pas à l'enrichissement du spectre du signal.
2. La chaîne radiochnique est non linéaire si l'opérateur ne garantit pas l'accomplissement des conditions d'additivité et d'uniformité. Le fonctionnement de telles chaînes est décrit par des équations différentielles non linéaires, c'est-à-dire Équations, au moins un coefficient dont la fonction est la fonction du signal d'entrée ou de ses dérivés. Les chaînes non linéaires ne satisfont pas le principe de superposition. Lors de l'analyse du passage des signaux via un circuit non linéaire, le résultat est défini comme une réponse au signal comme tel. On ne peut pas voir sur des signaux plus simples. Dans le même temps, les chaînes non linéaires ont une propriété très importante - d'enrichir le spectre du signal. Cela signifie qu'avec des transformations non linéaires, des composants harmonique avec des fréquences qui n'étaient pas dans le spectre d'entrée apparaissent dans le spectre du signal de sortie. L'apparition des composants avec des fréquences égales à la combinaison des fréquences des composants harmoniques du spectre d'entrée est possible. Cette propriété de chaînes non linéaires a conduit à leur application pour résoudre une vaste classe de tâches associées à la génération et à la conversion de signaux. Les chaînes structurellement linéaires contiennent uniquement des éléments linéaires, dont le nombre d'éléments non linéaires fonctionnant en mode linéaire (sur des sections linéaires de leurs caractéristiques). Les chaînes linéaires sont des amplificateurs fonctionnant en mode linéaire, filtres, lignes longues, lignes de retard, etc. Les circuits non linéaires contiennent un ou plusieurs éléments non linéaires. Les chaînes non linéaires comprennent les générateurs, les détecteurs, les modulateurs, les multiplicateurs et les convertisseurs de fréquence, les limiteurs, etc.
