Nous continuons à faire face aux fondements de l'algèbre. Aujourd'hui, nous travaillerons avec, mais considérons une telle action comme référence facteur général Pour les accolades.
Conception de la leçonLe principe de base
La loi de distribution de la multiplication vous permet de multiplier un certain nombre de montant (ou montant par numéro). Par exemple, pour trouver la valeur de l'expression 3 × (4 + 5), vous pouvez multiplier le nombre 3 par personne entre parenthèses et ajouter les résultats obtenus:
3 × (4 + 5) \u003d 3 × 4 + 3 × 5 \u003d 12 + 15
Le numéro 3 et l'expression entre parenthèses peuvent être modifiés dans des endroits (cela découle du mouvement de multiplication). Alors chaque terme, lequel entre parenthèses sera multiplié par le numéro 3
(4 + 5) × 3 \u003d 4 × 3 + 5 × 3 \u003d 12 + 15
Jusqu'à présent, nous ne calculerons pas la conception 3 × 4 + 3 × 5 et plierons les résultats obtenus 12 et 15. Laissons une expression 3 (4 + 5) \u003d 3 × 4 + 3 × 5. Ci-dessous, il sera nécessaire précisément sous cette forme afin de comprendre l'essence de l'inclusion d'un facteur commun pour les crochets.
La loi de la multiplication de la multiplication est parfois appelée multiplicateur à l'intérieur des supports. Dans l'expression 3 × (4 + 5), le multiplicateur 3 était derrière les supports. Multipliez-le sur chaque terme entre parenthèses, nous avons été essentiellement introduits à l'intérieur des supports. Pour plus de clarté, vous pouvez l'écrire, bien que ce ne soit pas accepté pour enregistrer:
3 (4 + 5) \u003d (3 × 4 + 3 × 5)
Depuis l'expression 3 × (4 + 5) Le numéro 3 est multiplié par chaque terme entre parenthèses, ce nombre est un facteur commun pour les termes de 4 et 5
Comme mentionné précédemment, en multipliant ce facteur général pour chaque terme entre parenthèses, nous l'introduisons dans l'intérieur des supports. Mais le processus d'inverse est possible - l'usine générale peut être atteinte entre parenthèses. Dans ce cas, dans l'expression 3 × 4 + 3 × 5 Le facteur général est visible, car la paume est un multiplicateur 3. Il doit être retiré pour les accolades. Pour cela, le multiplicateur lui-même est écrit en premier.
et l'expression est enregistrée à côté des parenthèses 3 × 4 + 3 × 5 mais déjà sans multiplicateur général 3, car il est rendu pour les accolades
3 (4 + 5)
À la suite du facteur général du support, l'expression est obtenue 3 (4 + 5) . Cette expression est identique égale à l'expression précédente 3 × 4 + 3 × 5
3(4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5
Si vous calculez les deux parties de l'égalité obtenues, je recevrai l'identité:
3(4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5
27 = 27
Comment se passe le facteur général des crochets
Faire un facteur commun pour les supports est essentiellement un fonctionnement inverse de l'introduction d'un facteur commun de l'intérieur des supports.
Si, lors de la fabrication d'un multiplicateur général à l'intérieur des supports, nous multiplions ce multiplicateur à chaque terme entre parenthèses, puis lorsque vous appuyez sur ce multiplicateur de dos pour les supports, nous devons diviser chaque personne entre parenthèses vers ce multiplicateur.
En expression 3 × 4 + 3 × 5qui a été discuté ci-dessus et s'est passé. Chaque catégorie a été divisée en facteur général 3. Fonctionne 3 × 4 et 3 × 5 et sont les termes, car s'ils les calculent, nous obtenons la quantité de 12 + 15
Maintenant, nous pouvons voir en détail comment le multiplicateur général est fabriqué pour les crochets:
On peut voir que le multiplicateur total de 3 a été transféré pour la première fois pour ses supports, puis entre parenthèses, il existe une division de chaque terme pour ce multiplicateur commun.
La division de chaque allégeance de l'usine générale peut être effectuée non seulement en divisant le numérateur au dénominateur, comme indiqué ci-dessus, mais réduisant également ces fractions. Dans les deux cas, il s'avère le même résultat:
Nous avons révisé l'exemple le plus simple Faire un facteur commun pour les supports de comprendre le principe de base.
Mais tout n'est pas aussi simple que cela semble à première vue. Une fois que le nombre est multiplié par chaque terme entre parenthèses, les résultats sont pliés et le multiplicateur total disparaît.
Revenons à notre exemple 3 (4 + 5). Nous utilisons la loi de distribution de la multiplication, c'est-à-dire multiplier le numéro 3 pour chaque terme entre parenthèses et poser les résultats obtenus:
3 × (4 + 5) \u003d 3 × 4 + 3 × 5 \u003d 12 + 15
Une fois que la conception de 3 × 4 + 3 × 5 est calculée, nous obtenons une nouvelle expression 12 + 15. Nous voyons que le multiplicateur total 3 a disparu. Maintenant, dans l'expression résultante 12 + 15, essayons de faire un multiplicateur commun pour les crochets, mais afin de rendre ce multiplicateur général, il a d'abord besoin d'être trouvé.
Habituellement, lors de la résolution des tâches, il est précisément des expressions dans lesquelles le facteur général doit d'abord être trouvé avant qu'il soit fabriqué.
Ainsi, dans l'expression 12 + 15 pour supporter un facteur commun pour les supports, vous devez trouver le plus grand diviseur commun (noeud) de la catégorie 12 et 15. Le nœud trouvé et sera un facteur commun.
Donc, nous trouverons un nœud pour les chiffres 12 et 15. Nous rappellerons que pour trouver le nœud, vous devez décomposer les numéros initiaux sur des facteurs simples, puis écrivez la première décomposition et supprimez les multiplicateurs de celui-ci qui ne sont pas inclus dans la décomposition du deuxième nombre. Les multiplicateurs restants doivent se multiplier et obtenir le nœud souhaité. Si vous avez des difficultés pour le moment, vous répéterez certainement.
Noeud pour 12 et 15 Ce nombre 3. Ce nombre est un facteur commun pour les termes 12 et 15. Il doit être retiré de parenthèses. Pour ce faire, d'abord écrire le multiplicateur 3 lui-même et une nouvelle expression est enregistrée à côté des supports, dans laquelle chaque expression d'expressions 12 + 15 est divisée en un facteur commun 3
Eh bien, un autre calcul n'est pas beaucoup difficile. L'expression entre parenthèses est facilement calculée - douze divisé par trois seront quatre, mais quinze divisé par trois seront cinq:
Ainsi, lorsqu'un facteur commun est délivré pour les supports dans l'expression 12 + 15, une expression 3 (4 + 5) est obtenue. Une solution détaillée est la suivante:
Dans une solution courte, ils ignorent l'enregistrement dans lequel il est montré comment chaque terme est divisé en un multiplicateur commun:
Exemple 2. 15 + 20
Trouvez un nœud pour les termes 15 et 20
Noeud pour 15 et 20. Ce nombre 5. Ce nombre est un facteur commun pour les termes de 15 et 20. Il sera soumis pour les supports:
Expression reçue 5 (3 + 4). L'expression résultante peut être vérifiée. Pour ce faire, il suffit de multiplier les cinq pour chaque puits entre parenthèses. Si nous avons tout fait tout de suite, vous devriez obtenir une expression 15 + 20
Exemple 3. Sortez un facteur commun pour les crochets d'expression 18 + 24 + 36
Nous trouverons un nœud pour les termes des 18, 24 et 36. Pour trouver, vous devez décomposer ces chiffres pour des facteurs simples, puis trouver un produit de facteurs généraux:
Le nœud des 18, 24 et 36 est le numéro 6. Ce nombre est un facteur commun pour les termes de 18, 24 et 36. Il sera soumis pour les crochets:
Vérifiez l'expression résultante. Pour ce faire, multipliez le nombre 6 par personne entre parenthèses. Si nous avons tout fait à droite, vous devriez obtenir une expression 18 + 24 + 36
Exemple 4. Relâchez un facteur commun pour les crochets dans l'expression 13 + 5
Les termes 13 et 5 sont des nombres simples. Ils n'ont diminué que par un et eux-mêmes:
Cela signifie que les 3ème et 5 ne sont pas des facteurs communs, à l'exception de l'unité. En conséquence, cela n'a aucun sens de rendre cette unité pour les crochets, car elle ne donnera rien. Montre le:
Exemple 5. Sortez un facteur général des crochets d'expression 195 + 156 + 260
Trouvez un nœud pour les termes 195, 156 et 260
Le nœud de 195, 156 et 260 est le numéro 13. Ce nombre est un facteur général pour les termes de 195, 156 et 260. Il sera fait pour les crochets:
Vérifiez l'expression résultante. Pour ce faire, multipliez 13 pour chaque personne entre parenthèses. Si nous avons tout fait tout de suite, vous devriez obtenir une expression 195 + 156 + 260
L'expression dans laquelle vous voulez faire un multiplicateur général pour les supports peut être non seulement la somme des nombres, mais aussi la différence. Par exemple, nous apporterons un facteur général pour les supports d'expression 16 à 12 - 4. Le plus grand diviseur commun pour les nombres 16, 12 et 4 est le numéro 4. Ce nombre et nous apporterons des supports:
Vérifiez l'expression résultante. Pour cela, multipliez le quatrième pour chaque nombre entre parenthèses. Si nous avons tout fait tout de suite, nous devrions avoir une expression 16 - 12 - 4
Exemple 6. Sortez un facteur général des crochets d'expression 72 + 96-120
Trouvez un nœud pour les chiffres 72, 96 et 120
Noeud pour 72, 96 et 120 Ceci est le numéro 24. Ce nombre est un facteur commun pour les termes de 195, 156 et 260. Il sera soumis pour les crochets:
Vérifiez l'expression résultante. Pour cela, multipliez 24 pour chaque nombre entre parenthèses. Si nous avons tout fait tout de suite, vous devriez obtenir une expression 72 + 96-120
Le facteur général doté pour les supports peut être négatif. Par exemple, je vais apporter un facteur général des supports d'expression -6-3. Faire un multiplicateur général pour les crochets dans une telle expression de deux manières. Considérez chacun d'eux.
Méthode 1.
Remplacer la soustraction en ajoutant:
−6 + (−3)
Maintenant, nous trouvons un facteur commun. Le facteur général de cette expression sera le plus grand diviseur général de la catégorie -6 et -3.
Le module du premier terme est de 6. Et le module des seconds termes est de 3. Le nœud (6 et 3) est 3. Ce nombre est un facteur commun pour les termes 6 et 3. Il sera retiré de ses supports:
L'expression obtenue de cette manière n'était pas très soignée. De nombreux supports et chiffres négatifs ne fixent pas de simplicité. Par conséquent, il est possible d'utiliser la deuxième manière, dont l'essence est de ne pas 3, A -3 au-delà des supports.
Méthode 2.
Comme la dernière fois que je remplace la soustraction en ajoutant
−6 + (−3)
Cette fois, nous allons sortir des supports pas 3, et -3
L'expression obtenue ce temps semble beaucoup plus facile. Écrivez la décision plus courte de la rendre encore plus facile:
Laisser le facteur négatif derrière les supports est due au fait que la décomposition du nombre -6 et (-3) peut être écrite par deux espèces: d'abord rendre le moment négatif et le multiplicateur est positif:
-2 × 3 \u003d -6
-1 × 3 \u003d -3
dans le second cas, le multiplicateur peut être fait positif et le multiplicateur est négatif:
2 × (-3) \u003d -6
1 × (-3) \u003d -3
Nous sommes donc libres de supporter derrière les crochets, l'usine qui voudra.
Exemple 8. Faire un facteur général pour les crochets d'expression -20-16-2
Remplacer la soustraction en ajoutant
−20−16−2 = −20 + (−16) + (−2)
Le plus grand diviseur commun pour les composants -20, -16 et -2 est le numéro 2. Ce nombre est un facteur commun pour ces termes. Voyons comment ça ressemble:
-10 × 2 \u003d -20
-8 × 2 \u003d -16
-1 × 2 \u003d -2
Mais les décisions peuvent être remplacées par une décomposition identique égale. La différence sera que le facteur général ne sera pas 2, et -2
10 × (-2) \u003d -20
8 × (-2) \u003d -16
1 × (-2) \u003d -2
Par conséquent, pour une commodité pour les crochets, vous ne pouvez pas faire 2, A -2
Nous écrivons la décision réduite:
Et s'ils ont été transférés pour les crochets 2, il n'aurait pas une expression complètement soignée:
Exemple 9. Sortez un facteur général pour les crochets d'expression -30-36-42
Remplacer la soustraction en ajoutant:
−30 + (−36) + (−42)
Le plus grand diviseur commun de la catégorie -30, -36 et -42 est le numéro 6. Ce nombre est un facteur commun pour ces termes. Mais pour les crochets, nous ne prendrons pas 6, et -6 parce que les chiffres -30, -36 et -42 peuvent être représentés comme suit:
5 × (-6) \u003d -30
6 × (-6) \u003d -36
7 × (-6) \u003d -42
Moins pour les crochets
Lors de la résolution des tâches, il peut parfois être utile de faire un minimum pour les crochets. Cela vous permet de simplifier l'expression et de la mettre en ordre.
Considérez l'exemple suivant. Libération moins pour les supports d'expression -15 + (- 5) + (- 3)
Pour plus de clarté, nous concluons cette expression entre parenthèses, car nous parlons de faire un minimum pour ces crochets
(−15 + (−5) + (−3))
Donc, pour faire un minimum pour les supports, vous devez écrire devant des crochets moins et écrire tous les composants entre parenthèses, mais avec des signes opposés
Nous avons fait un moins pour les supports d'expression -15 + (- 5) + (- 3) et obtenu - (15 + 5 + 3). Les deux expressions sont égales à la même valeur -23
−15 + (−5) + (−3) = −23
−(15 + 5 + 3) = −(23) = −23
Par conséquent, entre expressions -15 + (- 5) + (- 3) et - (15 + 5 + 3), vous pouvez mettre un signe d'égalité, car ils portent la même valeur:
−15 + (−5) + (−3) = −(15 + 5 + 3)
En fait, lors de la fabrication d'un moins pour des parenthèses, la loi de la multiplication de la multiplication est déclenchée:
a (B + C) \u003d AB + AC
Si vous changez la partie gauche et droite de cette identité, cela allumera que l'usine uNE. Imusé pour les supports
AB + AC \u003d A (B + C)
La même chose se produit lorsque nous supporterons un multiplicateur général dans d'autres expressions et lorsque nous prenons un minimum pour les crochets.
Il est évident que lorsque vous faites un moins pour des parenthèses, ce n'est pas moins, mais moins un. Nous avons déjà dit que le coefficient 1 n'est pas enregistré.
Par conséquent, il est formé devant les crochets moins et les signes des composants entre parenthèses changent de signe à l'inverse, car chaque terme est divisé en moins un.
Revenons à l'exemple précédent et voyons en détail comment le minus est en réalité sorti des supports
Exemple 2. Laisser moins pour les crochets d'expression -3 + 5 + 11
Nous mettons un minimum et enregistrant l'expression -3 + 5 + 11 avec le signe opposé entre les crochets avec le signe opposé:
−3 + 5 + 11 = −(3 − 5 − 11)
Comme dans l'exemple passé, ce n'était pas moins ici pour les crochets, mais moins un. Une solution détaillée est la suivante:
Tout d'abord, il a révélé l'expression -1 (3 + (-5) + (-11)), mais nous avons révélé entre crochets internes et expression reçue - (3 - 5 - 11). La divulgation des supports fait l'objet de la prochaine leçon, de sorte que si cet exemple provoque des difficultés avec vous, vous pouvez le sauter pendant.
Supprimer un facteur commun pour les supports en alphabone
Pour mener à bien un facteur commun pour les supports dans l'expression alphabétique est beaucoup plus intéressant.
Pour commencer, considérez l'exemple le plus simple. Que ce soit une expression 3 A + 2 A. Je vais apporter un facteur commun pour les crochets.
Dans ce cas, le multiplicateur général est visible à l'œil nu - il s'agit d'un multiplicateur uNE.. Et je vais l'apporter pour les crochets. Pour ce faire, écris le multiplicateur lui-même uNE. et à côté des supports écrivent l'expression 3a + 2a., mais déjà sans multiplicateur uNE. Depuis qu'il est rendu entre parenthèses:
Comme dans le cas d'une expression numérique, il existe une division de chaque personne sur le facteur commun étendu. Cela ressemble à ceci:
Dans les deux variables de fractions uNE. Ont été réduits par uNE.. Au lieu d'eux dans le numérateur et dans le dénominateur, il s'est avéré des unités. Les unités se sont avérées en raison du fait qu'au lieu d'une variable uNE. Peut supporter n'importe quel nombre. Cette variable était située dans le numérateur et dans le dénominateur. Et si dans le numérateur et dans le dénominateur, il y a les mêmes numéros, le plus grand diviseur commun sera le nombre de ce numéro.
Par exemple, si au lieu d'une variable uNE. Nombre 4
, alors la conception prendra suivant apparence: 
. Ensuite, les quatrièmes des deux fractions peuvent être réduits de 4:
Il s'avère comme avant, lorsque la variable se tenait au lieu du quatrième uNE. .
Par conséquent, vous ne devriez pas avoir peur de la forme de variables de réduction. La variable est un facteur complet, même si une lettre prononcée. Un tel multiplicateur peut être effectué pour les supports, réduire et effectuer d'autres actions autorisées aux nombres conventionnels.
Une expression d'Alpoint contient non seulement des chiffres, mais aussi des lettres (variables). Par conséquent, le facteur général soumis pour le support est souvent le facteur de lettre composé entre les lettres et les lettres (coefficient et variable). Par exemple, les expressions suivantes sont des multiplicateurs de lettrage:
3a, 6b, 7ab, a, b, c
Avant de faire un tel multiplicateur pour les crochets, vous devez décider du nombre de chiffres dans la partie numérique du facteur commun et quelle variable sera dans la lettre du facteur total. En d'autres termes, vous devez savoir quel coefficient proviendra d'un facteur commun et quelle variable sera incluse.
Considérez l'expression 10. a +.15uNE. . Essayons de faire un multiplicateur général pour les supports. Premièrement, nous définirons à partir de ce qu'un facteur commun consistera, c'est-à-dire que nous connaîtrons son coefficient et quelle variable entrera.
Le coefficient multiplicateur total devrait être le plus grand diviseur commun des facteurs de la lettre expression 10 a +.15uNE. . 10 et 15, et leur plus grand diviseur commun est le numéro 5. Par conséquent, le numéro 5 sera un facteur commun qui est soumis pour les crochets.
Nous définirons maintenant quelle variable entrera dans le facteur général. Pour ce faire, regardez l'expression 10 a +.15uNE. Et trouver un alphabet, qui est inclus dans toutes les conditions. Dans ce cas, c'est une usine uNE. . Ce fait est inclus dans chaque expression de terme 10 a +.15uNE. . Donc la variable uNE. sera inclus dans la lettre du facteur général, qui est soumise pour des parenthèses:
Maintenant, il reste à faire un facteur commun 5a pour les crochets. Pour ce faire, nous avons divisé chaque expression terme 10a + 15a. sur le 5a . Pour plus de clarté, les coefficients et les chiffres sépareront le signe de multiplication (×)
Vérifiez l'expression résultante. Pour cet intelligent 5a Pour chaque puits entre parenthèses. Si nous avons tout fait tout de suite, nous obtenons une expression 10a + 15a.
Le facteur de lettre ne peut pas toujours être retiré de parenthèses. Parfois, le multiplicateur général ne comprend que parmi le nombre, car rien ne convient à la partie alphabétique n'est pas dans l'expression.
Par exemple, nous apporterons un facteur commun pour les supports d'expression 2a - 2B. . Ici le facteur général ne sera que le nombre 2 Et parmi les facteurs de la lettre, il n'y a pas de facteurs communs dans l'expression. Par conséquent, dans ce cas, seul le multiplicateur sera fait 2
Exemple 2. Faire un facteur général d'expression 3x + 9y + 12
Les coefficients de cette expression sont des nombres 3, 9 et 12, Leurs nœuds sont égaux 3 3 . Et parmi les facteurs de lettre (variables), il n'y a pas de facteur commun. Par conséquent, le multiplicateur général final est 3
Exemple 3. Faire un multiplicateur général pour les crochets d'expression 8x + 6Y + 4Z + 10 + 2
Les coefficients de cette expression sont des nombres 8, 6, 4, 10 et 2, Leurs nœuds sont égaux 2 . Cela signifie que le facteur commun qui a été soumis pour les crochets sera le nombre 2 . Et parmi les facteurs de la lettre, il n'y a pas de multiplicateur général. Par conséquent, le multiplicateur général final est 2
Exemple 4. Prendre un facteur général 6AB + 18AB + 3ABC
Les coefficients de cette expression sont des nombres 6, 18 et 3, Leurs nœuds sont égaux 3 . Cela signifie que le facteur commun qui a été soumis pour les crochets sera le nombre 3 . Les variables seront incluses dans la lettre du multiplicateur total uNE. et b, Depuis l'expression 6AB + 18AB + 3ABC Ces deux variables sont incluses dans chaque puits. Par conséquent, le multiplicateur général final est 3AB
Avec une solution détaillée, l'expression devient volumineuse et même incompréhensible. DANS cet exemple C'est plus que notable. Cela est dû au fait que nous réduisons les multiplicateurs du numérateur et dans le dénominateur. Il est préférable de le faire à l'esprit et d'enregistrer immédiatement les résultats de la division. Ensuite, l'expression deviendra court et soignée:
Comme dans le cas d'une expression numérique en termes alphabétiques, le multiplicateur total peut être négatif.
Par exemple, nous allons résumer les crochets dans l'expression -3a - 2a..
Pour plus de commodité, remplacez la soustraction en ajoutant
-3a - 2a \u003d -3a + (-2a)
Facteur commun dans cette expression est un multiplicateur uNE. . Mais pour les supports peut être atteint non seulement uNE. , mais aussi -UNE.. Et je vais l'apporter pour les crochets:
Il s'est avéré une expression soignée -A (3 + 2).Nous ne devrions pas oublier que le multiplicateur -UNE. effectivement ressemblait à -1a. et après la réduction des deux fractions de variables uNE. Les dénominateurs sont restés moins unités. Par conséquent, par conséquent, des réponses positives sont obtenues entre crochets.
Exemple 6. Faire un multiplicateur général pour les crochets d'expression -6x - 6Y
Remplacer la soustraction en ajoutant
-6x-6y \u003d -6x + (- 6Y)
Je vais faire ressortir des accolades −6
Ecrivez la décision Shortter:
-6x - 6Y \u003d -6 (x + y)
Exemple 7. Faire un multiplicateur général pour les crochets d'expression -2a - 4B - 6C
Remplacer la soustraction en ajoutant
-A-4b-6c \u003d -2a + (-4b) + (-6c)
Je vais faire ressortir des accolades −2
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\\ (5x + xy \\) peut être représenté comme \\ (x (5 + y) \\). C'est en effet les mêmes expressions, nous pouvons nous assurer que si nous révélons les supports: \\ (x (5 + y) \u003d x \\ CDOT 5 + x \\ CDOT y \u003d 5x + xy \\). Comme vous pouvez le constater, par conséquent, nous obtenons l'expression originale. Donc, \\ (5x + xy \\) est vraiment égal à \\ (x (5 + y) \\). Au fait, c'est manière fiable Vérification de l'exactitude des facteurs d'émission consiste à divulguer le support résultant et à comparer le résultat avec l'expression initiale.
La règle principale de soumission pour le support:
Par exemple, dans l'expression \\ (3AB + 5BC-ABC \\) par support ne peut être effectué que \\ (b \\), car seuls les trois termes. Le processus de fabrication de multiplicateurs généraux par support est indiqué dans le schéma ci-dessous:
Règles de cartographie
En mathématiques, il est de coutume de supporter tous les multiplicateurs communs.
Exemple: \\ (3xy-3xz \u003d 3x (y-z) \\)
Notez, ici, nous pourrions décomposer et aimer ceci: \\ (3 (xy-xz) \\) ou donc: \\ (x (3y-3z) \\). Cependant, ce serait une décomposition incomplète. Il est nécessaire de porter une troïka, et X.
Parfois, les membres généraux ne sont pas immédiatement visibles.
Exemple: \\ (10x-15y \u003d 2 · 5 · x-3 · 5 · Y \u003d 5 (2x-3Y) \\)
Dans ce cas, le membre global (cinq) était caché. Cependant, la décomposition \\ (10 \u200b\u200b\\) en tant que \\ (2 \\ \\) se multiplie vers \\ (5 \\) et \\ (15 \\) comme \\ (3 \\) se multiplient à \\ (5 \\) - nous avons "retiré cinq à La lumière de Dieu », après cela, il était facile de l'apporter pour un support.
Si un moment est complètement sorti - l'unité en reste.
Exemple: \\ (5Y + axy-x \u003d x (5y + ay-1) \\)
Nous endurons le support \\ (x \\), et le troisième est inutile et consiste uniquement à l'ICA. Pourquoi l'unité reste-t-elle de lui? Parce que si une expression est multipliée par une - elle ne changera pas. C'est-à-dire que ce très \\ (x \\) peut être représenté comme \\ (1 \\ CDOT X \\). Ensuite, nous avons la chaîne de transformations suivante:
\\ (5xy + axy - \\) \\ (x \\ \\) \\ (\u003d 5xy + axy - \\) \\ (1 \\ CDOT X \\) \\ (x \\) \\ ((5Y + ay - \\ \\ (une\\) \\()\\)
De plus, c'est le seul le droit chemin Exécution, car si nous ne quittons pas l'appareil, alors lors de la divulgation de supports, nous ne reviendrons pas à l'expression initiale. En effet, si vous faites cela, donc \\ (5xy + axy-x \u003d x (5Y + ay) \\), alors lorsque la divulgation nous obtenons \\ (x (5Y + ay) \u003d 5xy + axy \\). La troisième bite - a disparu. Donc, une telle communication incorrectement.
Derrière le support peut être fait un signe "moins", tandis que les signes de membres avec un support changent au contraire.
Exemple: \\ (x-y \u003d - (- x + y) \u003d - (y - x) \\)
En substance, nous endurons ici le support «Minus Unité», qui peut être «mis en évidence» à tout seul, même s'il n'y avait pas de moins avant cela. Nous utilisons ici le fait que l'unité peut être écrite comme \\ ((- 1) \\ CDOT (-1) \\). Voici le même exemple, peint en détail:
\\ (x-y \u003d \\ \\)
\\ (\u003d 1 · x + (- 1) · y \u003d \\ \\)
\\ (\u003d (- 1) · (-1) · x + (- 1) · y \u003d \\)
\\ (\u003d (- 1) · ((- 1) · x + y) \u003d \\)
\\ (\u003d - (- x + y) \u003d \\)
\\ (- (Y-X) \\)
Le support peut également être un facteur commun.
Exemple: \\ (3m (N-5) +2 (N-5) \u003d (N-5) (3M + 2) \\)
Avec une telle situation (avec un support avec support), le plus souvent, nous sommes confrontés à la décomposition sur des multiplicateurs en regroupant ou en
Dans cette leçon, nous vous familiariserons avec les règles de faire un facteur commun pour les crochets, apprendre à le trouver dans divers exemples et expressions. Parlons de la manière dont une opération simple, faisons un facteur commun pour les crochets, vous permet de simplifier les calculs. Les connaissances acquises et les compétences vont forcer, envisager des exemples de difficultés différentes.
Quel est un facteur commun, pourquoi le chercher et dans quel but supporter derrière les crochets? Répondez à ces questions, désaccordez l'exemple le plus simple.
Nous résolvons l'équation. La partie gauche de l'équation est un polynôme constitué de membres similaires. La partie lettre est courante à ces membres, cela signifie que ce sera un facteur commun. Sortons pour les accolades:
Dans ce cas, la soumission d'un facteur commun nous a permis de transformer un polynôme en un pôle. Ainsi, nous avons pu simplifier le polynôme et sa transformation nous a aidés à résoudre l'équation.
Dans l'exemple examiné, le facteur général était évident, mais sera-t-il si facile de le trouver dans un polynôme arbitraire?
Trouvez la valeur de l'expression :.
Dans cet exemple, la délivrance d'un facteur commun derrière les crochets a considérablement simplifié le calcul.
Je décide un autre exemple. Nous prouvons la divisibilité sur les expressions.
L'expression résultante est divisée en ce qui était nécessaire pour prouver. Et encore une fois, la délivrance d'un facteur commun nous a permis de résoudre la tâche.
Je décide un autre exemple. Nous prouvons que l'expression est divisée avec n'importe quel naturel: 
.
L'expression est un produit de deux nombres voisins d'une rangée naturelle. L'un des deux chiffres sera nécessairement possible, cela signifie que l'expression partagera.
Nous sommes désassemblés de différents exemples, mais la même méthode de solution a été utilisée: ils ont enduré un multiplicateur général pour les crochets. Nous voyons que cette opération simple simplifie grandement les calculs. Il était facile de trouver un multiplicateur général pour ces cas particuliers et de quoi faire dans l'affaire Général pour un polynôme arbitraire?
Rappelez-vous que le polynôme est la quantité de casseroles.
Considérer un polynôme 
. Ce polynôme est la somme de deux homoraux. Prévu - le produit du nombre, du coefficient et de la lettre. Ainsi, dans notre polynôme, chacun est représenté par le produit et les degrés, le produit de multiplicateurs. Les multiples-multiples peuvent être les mêmes pour tous les oignons. Ce sont ces multiplicateurs qui doivent être déterminés et engagés pour le support. Nous trouvons d'abord un facteur général pour les coefficients et entier.
Il était facile de trouver un multiplicateur général, mais définissons les coefficients: 
.
Considérez un autre exemple :.
Nous constatons que cela nous permettra de déterminer le facteur général de cette expression :.
Nous avons dérivé une règle pour des coefficients entiers. Il est nécessaire de trouver leurs nœuds et de sortir le support. Sécuriser cette règle en décidant d'un autre exemple.
Nous avons examiné la règle du facteur général des coefficients entier, nous nous tournons vers la partie alphabète. Nous recherchons d'abord ces lettres qui sont incluses dans toutes les transmises, puis déterminent le plus grand degré de la lettre qui entre tout non marqué :.
Dans cet exemple, il n'y avait qu'une seule variable de lettre courante, mais il peut y avoir plusieurs d'entre eux comme dans l'exemple suivant:
Exemple complet, augmentant le nombre d'une seule aile:
Après avoir effectué un facteur commun, nous avons transformé une quantité algébrique dans le travail.
Nous avons examiné les règles d'exposition pour des coefficients entiers et des variables alphabétiques séparément, mais le plus souvent pour résoudre l'exemple que vous devez les appliquer ensemble. Considérons un exemple:
Il est parfois difficile de déterminer quelle expression reste entre crochets, considérez une réception légère qui vous permettra de résoudre rapidement ce problème.
Le facteur général peut également être la valeur souhaitée:
Un facteur commun peut être non seulement un nombre ou une seule aile, mais également toute expression, telle que, par exemple, dans l'équation suivante.
Chicheeva Darina 8B Class
Dans le travail de l'étudiant de 8e année, la règle de décomposition d'un polynôme à des multiplicateurs en faisant un facteur commun pour les supports avec un cours détaillé de la résolution d'une pluralité d'exemples sur ce sujet. Pour chaque exemple démonté, 2 exemples sont proposés pour s'auto-déciderÀ laquelle il y a des réponses. Le travail aidera à explorer ce sujet Ces étudiants qui, pour une raison quelconque, ne se souciaient pas lors du passage du logiciel de la 7e année et (ou) lors de la réduction du cours d'algèbre à la 8e année après les vacances d'été.
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Institution d'enseignement budgétaire municipal
École secondaire №32
"École associée de l'UNESCO" Eureka-Development "
volga Volgograd Région
Travaux achevés:
Étudiant 8B Classe
Chicheeva Darina
volzhsky
2014
Multiplicateur pour les crochets
- - l'un des moyens de décomposer d'un polynôme à multiplicateurs estfaire un facteur commun pour les supports;
- - Lorsque vous faites un facteur commun pour les parenthèses est appliquépropriété de distribution;
- - Si tous les membres du polynôme contiennentmultiplicateur général ce multiplicateur peut être atteint par crochets..
Lors de la résolution d'équations, dans les calculs et à un certain nombre d'autres tâches, il est utile de remplacer un polynôme au produit de plusieurs polynômes (parmi lesquels ils peuvent également être désignés). La représentation du polynôme sous la forme d'une œuvre de deux ou plusieurs polynômes est appelée expansion du polynôme à des multiplicateurs.
Considérer un polynôme6a 2 B + 15B 2 . Chacun de son membre peut être remplacé par le travail de deux facteurs, dont l'un est égal3b: → 6a 2 b \u003d 3b * 2a 2, + 15B 2 \u003d 3B * 5B → De cela, nous obtiendrons:6A 2 B + 15B 2 \u003d 3B * 2A 2 + 3B * 5B.
L'expression résultante basée sur les propriétés de distribution de la multiplication peut être représentée comme produit de deux facteurs. L'un d'entre eux est un facteur commun3b. et l'autre - le montant2A 2 et 5B → 3B * 2A 2 + 3B * 5B \u003d 3B (2A 2 + 5B) → Ainsi, nous avons posé le polynôme:6a 2 B + 15B 2 Pour les multiplicateurs, la présentant sous la forme d'un travail3b et 2a 2 + 5b polynomial. Cette méthode La décomposition d'un polynôme à des multiplicateurs est appelée facteur général pour supports.
Exemples:
Étaler sur les multiplicateurs:
A) kx-px.
Multiplicateur X. Nous endurons derrière les supports.
kX: x \u003d k; px: x \u003d p.
Nous obtenons: kx-px \u003d x * (k-p).
b) 4a-4b.
Multiplicateur 4. Il y a à la fois dans la 1re catégorie et en 2 termes. donc4 nous endurons derrière les supports.
4a: 4 \u003d A; 4B: 4 \u003d b.
Nous obtenons: 4A-4B \u003d 4 * (A-B).
c) -9m-27n.
9m et -27n sont divisés en -9 . Par conséquent, nous sortons un multiplicateur numérique pour supports.-9.
9m: (-9) \u003d m; -27n: (-9) \u003d 3n.
Nous avons: -9m-27n \u003d -9 * (m + 3n).
d) 5Y 2 -15Y.
5 et 15 sont divisés en 5; Y 2 et Y sont divisés en y.
Par conséquent, nous souscrivons un multiplicateur général pour les supports.5ème.
5Y 2: 5ème \u003d y; -15y: 5ème \u003d -3.
Donc: 5Y 2 -15Y \u003d 5U * (U-3).
Commenter: Parmi les deux degrés avec la même base, nous endurons un degré avec un indicateur plus petit.
d) 16ème 3 + 12U 2.
16 et 12 sont divisés en 4; Les Y 3 et Y 2 sont divisés en Y 2.
Donc l'usine générale4Y 2.
16Y 3: 4Y 2 \u003d 4Y; 12Y 2: 4Y 2 \u003d 3.
En conséquence, nous obtiendrons:16Y 3 + 12Y 2 \u003d 4Y 2 * (4U + 3).
e) décomposer les polynômes sur les multiplicateurs8b (7y + a) + N (7Y + A).
Dans cette expression, nous voyons, le même multiplicateur est présent.(7y + a) qui peut être retiré hors des supports. Donc, nous obtenons:8B (7Y + A) + N (7Y + A) \u003d (8B + N) * (7Y + A).
g) A (B-C) + D (C-B).
Expressions B-C et C-B sont opposés. Donc, pour les rendre la même, avantd Changer le signe "+" à "-":
a (B-C) + D (C-B) \u003d A (B-C) -D (B-C).
a (B-C) + D (C-B) \u003d A (B - C) -D (B - C) \u003d (B-C) * (A-D).
Exemples pour Solutions Auto Solutions:
- mx + mon;
- ah + ay;
- 5x + 5y;
- 12x + 48Y;
- 7ax + 7bx;
- 14x + 21y;
- -Ma-a;
- 8mn-4m 2;
- -12y 4 -16Y;
- 15Y 3 -30Y 2;
- 5c (Y-2C) + Y 2 (Y-2C);
- 8m (A-3) + N (A-3);
- x (Y-5) -Y (5-y);
- 3a (2x-7) + 5b (7-2x);
Réponses.
1) m (x + y); 2) a (x + y); 3) 5 (x + y); 4) 12 (x + 4th); 5) 7x (A + B); 6) 7 (2x + 3ème); 7) -A (m + 1); 8) 4m (2n-m);
9) -4y (3Y 3 +4); 10) 15U 2 (U-2); 11) (Y-2C) (5C + dans 2); 12) (A-3) (8M + N); 13) (Y-5) (x + y); 14) (2x-7) (3A-5B).
Parmi les différentes expressions, qui sont considérées dans l'algèbre, la quantité d'homoracs occupe une place importante. Nous donnons des exemples de telles expressions:
\\ (5a ^ 4 - 2a ^ 3 + 0,3a ^ 2 - 4,6a + 8 \\)
\\ (xy ^ 3 - 5x ^ 2y + 9x ^ 3 - 7y ^ 2 + 6x + 5Y - 2 \\)
La quantité d'homoracs est appelée polynôme. Les composants du polynôme sont appelés membres du polynôme. Nous nous référons également de manière interdit aux polynômes, le comptage est inintervalon par un polynôme constitué d'un membre.
Par exemple, polynôme
\\ (8B ^ 5 - 2B \\ CDOT 7B ^ 4 + 3B ^ 2 - 8B + 0.25B \\ CDOT (-12) B + 16 \\)
Vous pouvez simplifier.
Imaginez tous les composants sous la forme d'espèces standard:
\\ (8b ^ 5 - 2B \\ CDOT 7B ^ 4 + 3B ^ 2 - 8B + 0.25B \\ CDOT (-12) B + 16 \u003d \\)
\\ (\u003d 8b ^ 5 - 14b ^ 5 + 3b ^ 2 -8b -3b ^ 2 + 16 \\)
Nous donnons à ces membres dans le polynôme résultant:
\\ (8b ^ 5 -14b ^ 5 + 3b ^ 2 -8b -3b ^ 2 + 16 \u003d -6b ^ 5 -8b + 16 \\)
Il s'est avéré un polynôme, dont tous les membres sont des espèces unilatérales, et il n'ya pas de similarité parmi eux. Ces polynômes sont appelés polynômes d'espèces standard.
Par le degré de polynôme Les espèces standard prennent le plus grand des degrés de ses membres. Ainsi, bicked \\ (12a ^ 2b - 7b \\) a un troisième degré et trois étapes \\ (2b ^ 2 -7b + 6 \\) - la seconde.
En règle générale, les membres des polynômes d'une forme standard contenant une variable sont placés dans l'ordre de diminution de son degré. Par example:
\\ (5x - 18x ^ 3 + 1 + x ^ 5 \u003d x ^ 5 - 18x ^ 3 + 5x + 1 \\)
La somme de plusieurs polynômes peut être convertie (simplifier) \u200b\u200ben polynôme d'une espèce standard.
Parfois, les membres du polynomial doivent être divisés en groupes en entrant dans chaque groupe entre parenthèses. Depuis que la conclusion entre parenthèses est une transformation, une divulgation inverse des supports, il est facile de formuler règles de divulgation des crochets:
Si le signe "+" est réglé devant les crochets, les éléments placés entre parenthèses sont enregistrés avec les mêmes signes.
Si le signe "-" est installé devant les crochets, les membres conclus entre les crochets sont enregistrés avec des panneaux opposés.
Transformation (simplification) d'œuvres d'une seule aile et d'un polynôme
En utilisant les propriétés de distribution de la multiplication, vous pouvez convertir (simplifier) \u200b\u200ben polynôme, le produit est non bloqué et polynomial. Par example:
\\ (9a ^ 2b (7a ^ 2 - 5AB - 4B ^ 2) \u003d \\)
\\ (\u003d 9a ^ 2b \\ CDOT 7A ^ 2 + 9A ^ 2B \\ CDOT (-5AB) + 9A ^ 2B \\ CDOT (-4B ^ 2) \u003d \\)
\\ (\u003d 63a ^ 4b - 45a ^ 3b ^ 2 - 36a ^ 2b ^ 3 \\ \\)
Le travail est inutile et le polynôme est identique à la quantité d'œuvres de ce single et chacun des membres du polynôme.
Ce résultat est généralement formulé en règle générale.
Pour multiplier l'immeuble d'un polynôme, vous devez multiplier celui-ci est inconnu pour chacun des membres du polynôme.
Nous avons utilisé à plusieurs reprises cette règle pour la multiplication par le montant.
Le produit de polynômes. Transformation (simplification) oeuvres de deux polynômes
En général, le produit de deux polynômes est identique à la quantité de travail de chaque membre d'un polynôme et de chaque membre de l'autre.
Profitez généralement de la règle suivante.
Pour multiplier le polynôme sur le polynôme, chaque élément d'un polynôme est multiplié par chaque membre de l'autre et plié les travaux obtenus.
Formules de multiplication abrégée. Carrés de la quantité, de la différence et de la différence de carrés
Avec certaines expressions dans des transformations algébriques, il est nécessaire de traiter plus souvent que d'autres. Peut-être les expressions les plus courantes \\ ((a + b) ^ 2, \\; (a - b) ^ 2 \\ \\) et \\ (A ^ 2 - b ^ 2 \\), c'est-à-dire la somme de la somme, le carré de la différence et les différences carrées. Vous avez remarqué que les noms des expressions spécifiées ne sont pas terminés, par exemple, \\ ((A + B) ^ 2 \\) ne sont bien sûr pas seulement le carré de la quantité et le carré de la somme A et B. Cependant, le carré de la quantité A et B n'est pas si souvent, en règle générale, au lieu de lettres A et B, il s'avère être des expressions différentes, parfois assez complexes.
Expressions \\ ((a + b) ^ 2, \\; (a - b) ^ 2 \\ \\) Il n'est pas difficile de convertir (simplifier) \u200b\u200ben polynômes d'une espèce standard, en fait, vous avez déjà rencontré une telle tâche lorsque Multiplier des polynômes:
\\ ((A + B) ^ 2 \u003d (A + B) (A + B) \u003d A ^ 2 + AB + BA + B ^ 2 \u003d \\)
\\ (\u003d A ^ 2 + 2AB + B ^ 2 \\)
Les identités obtenues sont utiles à mémoriser et à appliquer sans calculs intermédiaires. Un bref formulaire verbal aide ceci.
\\ ((A + B) ^ 2 \u003d A ^ 2 + B ^ 2 + 2AB \\) - La somme de la somme est égale à la somme des carrés et du travail doublé.
\\ ((A - B) ^ 2 \u003d A ^ 2 + B ^ 2 - 2AB \\) - Le carré de la différence est égal à la somme des carrés sans double produit.
\\ (A ^ 2 - B ^ 2 \u003d (A - B) (A + B) \\) - La différence de carrés est égale au produit de la différence de la quantité.
Ces trois identités permettent des transformations pour remplacer leurs parties gauche avec les parties droite et droite droite. Les plus difficiles en même temps - voir les expressions appropriées et comprendre comment les variables A et B sont remplacées. Considérez plusieurs exemples d'utilisation des formules de multiplication abrégée.
